Question

$$\lim\limits_{x\to 3} \dfrac{x^2-9}{x-3}$$ limitini bulunuz.

Answer 1

Soru analizi:

• $3$ noktasında sürekli olan $x^2-9$ ve $x-3$ polinomlarının oluşturduğu kesirin limiti ile ilgileniyoruz.
   
• $3$ noktasında $x^2-9$ ve $x-3$ polinomlarının değerini hesaplarsak $$3^2-9=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 3-3=0$$ olduğunu görürürüz.
  
  Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit oluşur. 

---

Çözüm yöntemi:

• Bir polinomun değerini $0$ yapan bir $a$ değeri varsa $x-a$ bu polinomun bir çarpanı olur.
  
  Buradaki durumda ise $x-3$ iki polinomun da bir çarpanı olur. Bu bilgi ile polinomları $$x^2-9=(x-3)(x+3) \ \ \ \text{ ve } \ \ \ x-3=x-3$$ olarak çarpanlara ayırabiliriz.
  
  Bu şekilde ifadeyi $$\dfrac{x^2-9}{x-3}=\dfrac{(x-3)\cdot (x+3)}{x-3}$$ olarak yazabiliriz.

  ---

• Bize $0/0$ belirsizliğini veren payda ve paydada $x-3$ çarpanının bulunması.
  
  $x-3$'leri sadeleştirirsek ($x\ne3$ olmak üzere) $$\dfrac{(x-3)\cdot (x+3)}{x-3}=x+3$$ ($3$ noktasında sürekli olan) polinomunu elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.

  ---

• Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $3$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$x+3 \mapsto 3+3=6.$$

---

---

Çözüm:
$0/0$ tipi belirsizliğimiz var. Payı $(x-3)\cdot (x+3)$ olarak çarpanlara ayıralım. $x-3$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim. Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to 3} \dfrac{x^2-9}{x-3}\ &= \ \lim\limits_{x\to 3}\dfrac{(x-3)\cdot (x+3)}{x-3}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 3}(x+3)\\[12pt]\ &= \ 3+3\\[12pt]\ &= \ 6\end{align*}eşitliğini buluruz.