Question

$$\lim\limits_{x\to 0.2} \dfrac{15x^2+2x-1}{5x^2+14x-3}$$ limitini bulunuz.

Answer 1

Soru analizi:

• $\frac15$ noktasında sürekli olan $15x^2+2x-1$ ve $5x^2+14x-3$ polinomlarının oluşturduğu kesirin limiti ile ilgileniyoruz.
   
• $\frac15$ noktasında $15x^2+2x-1$ ve $5x^2+14x-3$ polinomlarının değerini hesaplarsak $$15\cdot \left(\frac15\right)^2+2\left(\frac15\right)-1=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 5\cdot \left(\frac15\right)^2+14\cdot\left(\frac15\right)-3=0$$ olduğunu görürürüz.
  
  Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit oluşur. 

---

Çözüm yöntemi:

• Bir polinomun değerini $0$ yapan bir $a$ değeri varsa $x-a$ bu polinomun bir çarpanı olur.
  
  Buradaki durumda ise ($(x-(1/5))$'in sabit $5$ ile çarpımı olan) $5x-1$ iki polinomun da bir çarpanı olur. Bu bilgi ile polinomları $$15x^2+2x-1=(5x-1)\cdot (3x+1) \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 5x^2+14x-3=(5x-1)\cdot (x+3)$$ olarak çarpanlara ayırabiliriz.
  
  Bu şekilde ifadeyi $$\dfrac{15x^2+2x-1}{5x^2+14x-3}=\dfrac{(5x-1)\cdot (3x+1)}{(5x-1)\cdot (x+3)}$$ olarak yazabiliriz.

  ---

• Bize $0/0$ belirsizliğini veren payda ve paydada $5x-1$ çarpanının bulunması.
  
  $5x-1$'leri sadeleştirirsek ($x\ne\frac15$ olmak üzere) $$\dfrac{(5x-1)\cdot (3x+1)}{(5x-1)\cdot (x+3)}=\dfrac{3x+1}{x+3}$$ ($\frac15$ noktasında sürekli olan) polinom kesirini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.

  ---

• Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $\frac15$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$\dfrac{3x+1}{x+3} \mapsto \dfrac{3\frac15+1}{ \frac15+3}=\frac12.$$

---

---

Çözüm:
$0/0$ tipi belirsizliğimiz var. Payı $(5x-1)\cdot (3x+1)$ ve paydayı $(5x-1)\cdot (x+3)$ olarak çarpanlara ayıralım. $5x-1$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim. Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0.2} \dfrac{15x^2+2x-1}{5x^2+14x-3}\ &= \ \lim\limits_{x\to 0.2}\dfrac{(5x-1)\cdot (3x+1)}{(5x-1)\cdot (x+3)}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 0.2}\dfrac{3x+1}{x+3}\\[12pt]\ &= \ \dfrac{3\cdot 0.2+1}{0.2+3}\\[12pt]\ &= \ \frac{1.6}{3.2}\\[12pt]\ &= \ \frac1{2}\\[12pt]\ &\color{gray}{= \ 0.5}\end{align*}eşitliğini buluruz.