Question

$$\lim\limits_{x\to -0.\overline{2}} \dfrac{36x^2+17x+2}{18x^2+31x+6}$$ limitini bulunuz.

Answer 1

Soru analizi:

• $-\frac29$ noktasında sürekli olan $36x^2+17x+2$ ve $18x^2+31x+6$ polinomlarının oluşturduğu kesirin limiti ile ilgileniyoruz.
   
• $-\frac29$ noktasında $36x^2+17x+2$ ve $18x^2+31x+6$ polinomlarının değerini hesaplarsak $$36\cdot \left(-\frac29\right)^2+17\cdot \left(-\frac29\right)+2=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 18\cdot \left(-\frac29\right)^2+31\cdot\left(-\frac29\right)+6=0$$ olduğunu görürürüz.
  
  Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit oluşur. 

---

Çözüm yöntemi:

• Bir polinomun değerini $0$ yapan bir $a$ değeri varsa $x-a$ bu polinomun bir çarpanı olur.
  
  Buradaki durumda ise ($(x-(-2/9))$'un sabit $9$ ile çarpımı olan) $9x+2$ iki polinomun da bir çarpanı olur. Bu bilgi ile polinomları $$36x^2+17x+2=(9x+2)\cdot (4x+1) \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 18x^2+31x+6=(9x+2)\cdot (2x+3)$$ olarak çarpanlara ayırabiliriz.
  
  Bu şekilde ifadeyi $$\dfrac{36x^2+17x+2}{18x^2+31x+6}=\dfrac{(9x+2)\cdot (4x+1)}{(9x+2)\cdot (2x+3)}$$ olarak yazabiliriz.

  ---

• Bize $0/0$ belirsizliğini veren payda ve paydada $9x+2$ çarpanının bulunması.
  
  $9x+2$'leri sadeleştirirsek ($x\ne-\frac29$ olmak üzere) $$\dfrac{(9x+2)\cdot (4x+1)}{(9x+2)\cdot (2x+3)}=\dfrac{4x+1}{2x+3}$$ ($-\frac29$ noktasında sürekli olan) polinom kesirini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.

  ---

• Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $-\frac29$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$\dfrac{4x+1}{2x+3} \mapsto \dfrac{4\cdot \left(-\frac29\right)+1}{2\cdot\left(-\frac29\right)+3}=\frac1{23}.$$

---

---

Çözüm:
$0/0$ tipi belirsizliğimiz var. Payı $(9x+2)\cdot (4x+1)$ ve paydayı $(9x+2)\cdot (2x+3)$ olarak çarpanlara ayıralım. $9x+2$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim. Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to -0.\overline{2}} \dfrac{36x^2+17x+2}{18x^2+31x+6}\ &= \ \lim\limits_{x\to -0.\overline{2}}\dfrac{(9x+2)\cdot (4x+1)}{(9x+2)\cdot (2x+3)}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to -0.\overline{2}}\dfrac{4x+1}{2x+3}\\[12pt]\ &= \ \dfrac{4\cdot (-0.\overline{2})+1}{2\cdot (-0.\overline{2})+3}\\[12pt]\ &= \ \frac{1-0.\overline{8}}{3-0.\overline{4}}\\[12pt]\ &= \ \frac{9-8}{27-4}\\[12pt]\ & =\ \frac1{23}\end{align*}eşitliğini buluruz.