Soru analizi:
- $-1$ noktasında sürekli olan $(3+x)^2-4$ ve $x+1$ polinomlarının oluşturduğu kesirin limiti ile ilgileniyoruz.
- $-1$ noktasında $(3+x)^2-4$ ve $x+1$ polinomlarının değerini hesaplarsak $$(3+(-1))^2-4=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ (-1)+1=0$$ olduğunu görürürüz.
Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit oluşur.
Çözüm yöntemi:
Adım 1 - Çarpanlara ayırma - 1. yol:
- Bir polinomun değerini $0$ yapan bir $a$ değeri varsa $x-a$ bu polinomun bir çarpanı olur.
Buradaki durumda ise $x-(-1)=x+1$ iki polinomun da bir çarpanı olur. Bu bilgi ile polinomları $$(3+x)^2-4=(9+6x+x^2)-4 =x^2+6x+5=(x+1)\cdot(x+5)$$ $$ \ \ \ \text{ ve } \ \ \ x+1=x+1$$ olarak çarpanlara ayırabiliriz.
Adım 1 - Çarpanlara ayırma - 2. yol: - Pay için iki kare farkını kullanırsak \begin{align*}(3+x)^2-4\ &= \ (3+x)^2-2^2\\ &=\ ((3+x)-2)\cdot ((3+x+2))\\ &=\ (x+1)\cdot (x+5)\end{align*} olarak çarpanlarına ayrılır.
Adım 1 - Sonucu: - Bu şekilde ifadeyi $$\dfrac{(3+x)^2-4}{x+1}=\dfrac{(x+1)\cdot (x+5)}{x+1}$$ olarak yazabiliriz.
Adım 2: Sadeleştirme:
- Bize $0/0$ belirsizliğini veren payda ve paydada $x+1$ çarpanının bulunması.
$x+1$'leri sadeleştirirsek ($x\ne-1$ olmak üzere) $$\dfrac{(x+1)\cdot (x+5)}{x+1}=x+5$$ ($-1$ noktasında sürekli olan) polinomunu elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Adım 3 - Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $-1$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$x+5 \mapsto (-1)+5=4.$$
Çözüm:
$0/0$ tipi belirsizliğimiz var. Paydaki ifadeyi $(3+x)^2-2^2$ olarak yazalım ve iki kare farkı ile bu ifadeyi $(x+1)\cdot (x+5)$ olarak çarpanlara ayıralım. $x+1$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim. Bu yol ile \begin{align*}\lim_{x\to -1} \frac{(3+x)^2-4}{x+1}\ &= \ \lim_{x\to -1} \frac{(3+x)^2-2^2}{x+1}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to -1} \frac{((3+x)-2)\cdot ((3+x)+2)}{x+1}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to -1} \frac{(x+1)\cdot (x+5)}{x+1}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to -1} (x+5)\\[12pt]\ &= \ (-1)+5\\[12pt]\ &= \ 4\end{align*}eşitliğini buluruz.