Soru analizi:
- $1$ noktasında sürekli olan $(1+2x)^2-9$ ve $x-1$ polinomlarının oluşturduğu kesirin limiti ile ilgileniyoruz.
- $1$ noktasında $(1+2x)^2-9$ ve $x-1$ polinomlarının değerini hesaplarsak $$(1+2\cdot 1)^2-9=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 1-1=0$$ olduğunu görürürüz.
Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit oluşur.
Çözüm yöntemi:
Adım 1 - Çarpanlara ayırma - 1. yol:
- Bir polinomun değerini $0$ yapan bir $a$ değeri varsa $x-a$ bu polinomun bir çarpanı olur.
Buradaki durumda ise $x-1$ iki polinomun da bir çarpanı olur. Bu bilgi ile polinomları $$(1+2x)^2-9=(1+4x+4x^2)-9 =4x^2+4x-8=(x-1)\cdot(4x+8)$$ $$ \ \ \ \text{ ve } \ \ \ x-1=x-1$$ olarak çarpanlara ayırabiliriz.
Adım 1 - Çarpanlara ayırma - 2. yol: - Pay için iki kare farkını kullanırsak \begin{align*}(1+2x)^2-9\ &= \ (1+2x)^2-3^2\\ &=\ ((1+2x)-3)\cdot ((1+2x)+3)\\ &=\ (2x-2)\cdot (2x+4)\\ &=\ (x-1)\cdot 2\cdot (2x+4)\end{align*} olarak çarpanlarına ayrılır.
Adım 1 - Sonucu: - Bu şekilde ifadeyi $$\dfrac{(1+2x)^2-9}{x-1}=\dfrac{(x-1)\cdot 2\cdot (2x+4)}{x-1}$$ olarak yazabiliriz.
Adım 2: Sadeleştirme:
- Bize $0/0$ belirsizliğini veren payda ve paydada $x-1$ çarpanının bulunması.
$x-1$'leri sadeleştirirsek ($x\ne1$ olmak üzere) $$\dfrac{(x-1)\cdot 2\cdot (2x+4)}{x-1}=2\cdot (2x+4)$$ ($1$ noktasında sürekli olan) polinomunu elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Adım 3 - Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $1$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$2\cdot (2x+4) \mapsto 2\cdot (2\cdot 1+4)=12.$$
Çözüm:
$0/0$ tipi belirsizliğimiz var. Paydaki ifadeyi iki kare farkı ile $(2x-2)\cdot (2x+4)$ olarak yazalım. Bu ifadeyi $(x-1)\cdot 2\cdot (x+2)$ olarak düzenleyelim. $x-1$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim. Bu yol ile \begin{align*}\lim_{x\to 1} \frac{(1+2x)^2-9}{x-1}\ &= \ \lim_{x\to 1} \frac{(1+2x)^2-3^2}{x-1}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 1} \frac{((1+2x)-3)\cdot ((1+2x)+3)}{x-1}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 1} \frac{(2x-2)\cdot (2x+4)}{x-1}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)\cdot 2\cdot (2x+4)}{x-1}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 1} [2\cdot (2x+4)]\\[12pt]\ &= \ 2\cdot (2\cdot1+4)\\[12pt]\ &= \ 12\end{align*}eşitliğini buluruz.