Soru analizi:
- $2$ noktasında sürekli olan $(x-1)^2-1$ ve $(x+1)^2-9$ polinomlarının oluşturduğu kesirin limiti ile ilgileniyoruz.
- $2$ noktasında $(x-1)^2-1$ ve $(x+1)^2-9$ polinomlarının değerini hesaplarsak $$(2- 1)^2-1=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ (2+1)^2-9=0$$ olduğunu görürürüz.
Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit oluşur.
Çözüm yöntemi:
Adım 1 - Çarpanlara ayırma - 1. yol:
- Bir polinomun değerini $0$ yapan bir $a$ değeri varsa $x-a$ bu polinomun bir çarpanı olur.
Buradaki durumda ise $x-2$ iki polinomun da bir çarpanı olur. Bu bilgi ile polinomları $$(x-1)^2-1=(x^2-2x+1)-1 =x^2-2x=(x-2)\cdot x$$ $$ \ \ \ \text{ ve } \ \ \ (x+1)^2-1=(x^2+2x+1)-9 =x^2+2x-8=(x-2)\cdot(x+4)$$ olarak çarpanlara ayırabiliriz.
Adım 1 - Çarpanlara ayırma - 2. yol: - Pay için iki kare farkını kullanırsak \begin{align*}(x-1)^2-1\ &= \ (x-1)^2-1^2\\ &=\ ((x-1)-1)\cdot (x-1)+1)\\ &=\ (x-2)\cdot x\end{align*} olarak çarpanlarına ayrılır.
Payda için iki kare farkını kullanırsak \begin{align*}(x+1)^2-9\ &= \ (x+1)^2-3^2\\ &=\ ((x+1)-3)\cdot (x+1)+3)\\ &=\ (x-2)\cdot (x+4)\end{align*} olarak çarpanlarına ayrılır.
Adım 1 - Sonucu: - Bu şekilde ifadeyi $$\dfrac{(x-1)^2-1}{(x+1)^2-9}=\dfrac{(x-2)\cdot x}{(x-2)\cdot (x+4)}$$ olarak yazabiliriz.
Adım 2: Sadeleştirme:
- Bize $0/0$ belirsizliğini veren payda ve paydada $x-2$ çarpanının bulunması.
$x-2$'leri sadeleştirirsek ($x\ne2$ olmak üzere) $$\dfrac{(x-2)\cdot x}{(x-2)\cdot(x+4)}=\frac{x}{x+4}$$ ($2$ noktasında sürekli olan) polinom kesirini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Adım 3 - Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $2$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$\frac x{x+4}\mapsto \frac2{2+4}=\frac13.$$
Çözüm:
$0/0$ tipi belirsizliğimiz var. Paydaki ve paydadaki ifadeyi iki kare farkı ile $(x-2)\cdot$ ve $(x-2)\cdot (x+4)$ olarak yazalım. $x-2$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim. Bu yol ile \begin{align*}\lim_{x\to 2} \frac{(x-1)^2-1}{(x+1)^2-9}\ &= \ \lim_{x\to 2} \frac{(x-1)^2-1^2}{(x+1)^2-3^2}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 2} \frac{((x-1)-1)\cdot ((x-1)+1)}{((x+1)-3)\cdot ((x+1)+3)}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)\cdot x}{(x-2)\cdot (x+4)}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 2} \frac{x}{x+4}\\[12pt]\ &= \ \frac{2}{2+4}\\[12pt]\ &= \ \frac13\end{align*}eşitliğini buluruz.