Soru analizi:
- $-1$ noktasında sürekli olan $(x^2+3x+3)^2-1$ ve $x+1$ polinomlarının oluşturduğu kesirin limiti ile ilgileniyoruz.
- $-1$ noktasında $(x^2+3x+3)^2-1$ ve $x+1$ polinomlarının değerini hesaplarsak $$((-1)^2+3\cdot(-1)+3)^2-1=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ (-1)+1=0$$ olduğunu görürürüz.
Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit oluşur.
Çözüm yöntemi:
Adım 1 - Çarpanlara ayırma:
- Pay için iki kare farkını kullanırsak \begin{align*}(x^2+3x+3)^2-1\ &= \ (x^2+3x+3)^2-1^2\\ &=\ ((x^2+3x+3)-1)\cdot ((x^2+3x+3)+1)\\ &=\ (x^2+3x+2)\cdot (x^2+3x+4)\end{align*} olarak çarpanlarına ayrılır.
Burada payı sıfır yapan çarpan $x^2+3x+2$ polinomudur. Bu polinomu çarpanlara ayırmaya devam edelim.
- Bir polinomun değerini $0$ yapan bir $a$ değeri varsa $x-a$ bu polinomun bir çarpanı olur.
Buradaki durumda ise $x+1$ polinomu $x^2+3x+2$ polinomunun bir çarpanı olur. Bu bilgi ile bu polinomu $$x^2+3x+2=(x+1)\cdot (x+2)$$ olarak çarpanlara ayırabiliriz.
Adım 1 - Sonucu: - Bu şekilde ifadeyi $$\dfrac{(x^2+3x+3)^2-1}{x+1}=\dfrac{(x+1)\cdot (x+2)\cdot (x^2+3x+4)}{x+1}$$ olarak yazabiliriz.
Adım 2: Sadeleştirme:
- Bize $0/0$ belirsizliğini veren payda ve paydada $x+1$ çarpanının bulunması.
$x+1$'leri sadeleştirirsek ($x\ne-1$ olmak üzere) $$\dfrac{(x+1)\cdot(x+ 2)\cdot (x^2+3x+4)}{x+1}=(x+2)\cdot (x^2+3x+4)$$ ($-1$ noktasında sürekli olan) polinomunu elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Adım 3 - Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $-1$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$(x+2)\cdot (x^2+3x+4) \mapsto ((-1)+2)\cdot ((-1)^2+3\cdot(- 1)+4)=2.$$
Çözüm:
$0/0$ tipi belirsizliğimiz var. Paydaki ifadeyi iki kare farkı ile $(x^2+3x+2)\cdot (x^2+3x+4)$ olarak yazalım ve ilk çarpanı $(x+1)\cdot (x+2)$ olarak bir kere daha çarpanlara ayıralım. $x+1$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim. Bu yol ile \begin{align*}\lim_{x\to -1} \frac{(x^2+3x+3)^2-1}{x+1}\ &= \ \lim_{x\to -1} \frac{(x^2+3x+3)^2-1^2}{x+1}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to -1} \frac{((x^2+3x+3)-1)\cdot ((x^2+3x+3)+1)}{x+1}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to -1} \frac{(x^2+3x+2)\cdot (x^2+3x+4)}{x+1}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to -1} \frac{(x+1)\cdot (x+2)\cdot (x^2+3x+4)}{x+1}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to -1} \left((x+2)\cdot (x^2+3x+4)\right)\\[12pt]\ &= \ \left((-1)+2\right)\cdot \left((-1)^2+3\cdot(-1)+4\right)\\[12pt]\ &= \ 2\end{align*}eşitliğini buluruz.