Soru analizi:
- $2$ noktasında sürekli olan $(2x^2-3x+4)^2-(x^2+2)^2$ ve $x^2+x-2$ polinomlarının oluşturduğu kesirin limiti ile ilgileniyoruz.
- $2$ noktasında $(2x^2-3x+4)^2-(x^2+2)^2$ ve $x^2+x-2$ polinomlarının değerini hesaplarsak $$(2\cdot2^2-3\cdot2+3)^2-(2^2+2)^2=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 2^2-2-2=0$$ olduğunu görürürüz.
Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit oluşur.
Çözüm yöntemi:
Adım 1 - Çarpanlara ayırma:
- Bir polinomun değerini $0$ yapan bir $a$ değeri varsa $x-a$ bu polinomun bir çarpanı olur.
Buradaki durumda ise $x-2$ polinomu iki polinomunda bir çarpanı olur.
Adım 1 - Payı çarpanlara ayırma: - Pay için iki kare farkını kullanırsak \begin{align*}(2x^2&-3x+4)^2-(x^2+2)^2\\ &=\ ((2x^2-3x+4)-(x^2+2))\cdot ((2x^2-3x+4)+(x^2+2))\\ &=\ (x^2-3x+2)\cdot (3x^2-3x+6)\end{align*} olarak çarpanlarına ayrılır.
Burada payı sıfır yapan çarpan $x^2-3x+2$ polinomudur. Bu polinomu çarpanlara ayırmaya devam edelim.
- $x-2$ polinomu $x^2-3x+2$ polinomunun bir çarpanı olduğundan bu polinomu $$x^2-3x+2=(x-2)\cdot (x-1)$$ olarak çarpanlara ayırabiliriz.
Adım 1 - Paydayı çarpanlara ayırma: - $x-2$ polinomu $x^2-x-2$ polinomunun bir çarpanı olduğundan paydayı $$x^2-x-2=(x-2)\cdot(x+1)$$ olarak çarpanlarına ayırabiliriz.
Adım 1 - Sonucu: - Bu şekilde ifadeyi $$\dfrac{(x^2-3x+4)^2-(x^2+2)^2}{x^2-x-2}=\dfrac{(x-2)\cdot (x-1)\cdot (3x^2-3x+6)}{(x-2)\cdot(x+1)}$$ olarak yazabiliriz.
Adım 2: Sadeleştirme:
- Bize $0/0$ belirsizliğini veren payda ve paydada $x-2$ çarpanının bulunması.
$x-2$'leri sadeleştirirsek ($x\ne2$ olmak üzere) $$\dfrac{(x-2)\cdot(x- 1)\cdot (3x^2-3x+6)}{(x-2)\cdot(x+1)}=\frac{(x-1)\cdot(3x^2-3x+6)}{x+1}$$ ($2$ noktasında sürekli olan) polinom kesirini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Adım 3 - Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $2$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$\frac{(x-1)\cdot(3x^2-3x+6)}{x+1} \mapsto \frac{(2-1)\cdot(3\cdot2^2-3\cdot 2+6)}{2+1}=4.$$
Çözüm:
$0/0$ tipi belirsizliğimiz var. Paydaki ifadeyi iki kare farkı ile $(x^2-3x+2)\cdot (3x^2-3x+6)$ olarak yazalım ve ilk çarpanı $(x-2)\cdot(x-1)$ olarak bir kere daha çarpanlara ayıralım.\begin{align*}\lim_{x\to 2} &\frac{(2x^2-3x+4)^2-(x^2+2)^2}{x^2-x-2}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 2} \frac{((2x^2-3x+4)-(x^2+2))\cdot((2x^2-3x+4)+(x^2+2))}{x^2-x-2}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 2} \frac{(x^2-3x+2)\cdot (3x^2-3x+6)}{x^2-x-2}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)\cdot(x-1)\cdot(3x^2-3x+6)}{x^2-x+2}\end{align*}
Paydayı $(x-2)\cdot(x+1)$ olarak çarpanlarına ayıralım ve $x-2$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim. Bu yöntem ile\begin{align*}&= \ \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)\cdot(x-1)\cdot(3x^2-3x+6)}{(x-2)\cdot(x+1)}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 2} \frac{(x-1)\cdot (3x^2-3x+6)}{x+1}\\[12pt]\ &= \ \frac{(2-1)\cdot (3\cdot2^2-3\cdot 2+6)}{(2+1)}\\[12pt]\ &= \ 4\end{align*}eşitliğini buluruz.