Soru analizi:
- Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom kesirlerinin kesiri olan ifadeyi ilk olarak bir polinom kesiri olarak yazalım ve polinom kesirleri üzerindeki $0/0$ belirsizliği üzerine olan yöntemleri kullanalım.
Çözüm yöntemi:
Polinom kesiri olarak yazma:
- Payı ve paydayı $x$ ile çarparsak $$\dfrac{3x^{-1}+2}{8x+12} = \dfrac{3x^{-1}+2}{8x+12} \cdot \frac xx= \dfrac{3+2x}{8x+12}\cdot \frac1x$$ olarak yazabiliriz.
Belirsizlik veren kısımla ilgilenme: - Bize $0/0$ belirsizliğini veren ilk polinom kesiri. Pay ve payda $2x+3$ polinomunu çarpan olarak içeriyor. Sadeleştirme adına ifadeyi $$\dfrac{3+2x}{8x+12}=\dfrac{2x+3}{(2x+3)\cdot 4}$$ olarak yazabiliriz.
Bu düzenlemelerle ifademizi $$\dfrac{3x^{-1}+2}{8x+12}=\dfrac{2x+3}{(2x+3)\cdot 4}\cdot \frac1x$$ olarak görebiliriz.
Sadeleştirme: - $2x+3$'leri sadeleştirirsek ($x\ne-1.5$ olmak üzere) $$\frac{2x+3}{(2x+3)\cdot 4}\cdot \frac1x=\frac14\cdot\frac1x$$ ($-1.5$ noktasında sürekli olan) polinom kesirini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $-1.5$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$\frac14\cdot \frac1x \mapsto \frac14\cdot \frac1{-1.5}=-\frac16.$$
Çözüm:
$0/0$ tipi belirsizlik var. Polinom kesiri elde edebilmek için payı ve paydayı $x$ ile çarpalım. $2x+3$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim. Bu yol ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to -1.5} \dfrac{3x^{-1}+2}{8x+12}\ &= \ \lim\limits_{x\to -1.5} \left[\dfrac{3x^{-1}+2}{8x+12}\cdot\frac xx\right]\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to -1.5}\left[ \dfrac{3+2x}{8x+12}\cdot \frac1x\right]\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to -1.5} \left[\dfrac{2x+3}{(2x+3)\cdot 4}\cdot \frac1x\right]\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to -1.5} \left[\dfrac{1}{4}\cdot \frac1x\right]\\[12pt]\ &= \ \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{-1.5}\\[12pt]\ &= \ -\frac16\end{align*}eşitliğini buluruz.