Soru analizi:
- Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom kesirlerinin kesiri olan ifadeyi ilk olarak bir polinom kesiri olarak yazalım ve polinom kesirleri üzerindeki $0/0$ belirsizliği üzerine olan yöntemleri kullanalım.
Çözüm yöntemi:
Polinom kesiri olarak yazma:
- Payı ve paydayı $x+1$ ile çarparsak $$\dfrac{x}{(x+1)^{-1}-1} =\dfrac{x}{(x+1)^{-1}-1} \cdot \frac{x+1}{x+1}= \dfrac{x}{1-(x+1)}\cdot (x+1)$$ olarak yazabiliriz.
Belirsizlik veren kısımla ilgilenme: - Bize $0/0$ belirsizliğini veren ilk polinom kesiri. Pay ve payda $x$ polinomunu çarpan olarak içeriyor. Sadeleştirme adına ifadeyi $$\dfrac{x}{1-(1+x)}=\dfrac{x}{-x}$$ olarak yazabiliriz.
Bu düzenlemelerle ifademizi $$\dfrac{x}{(x+1)^{-1}-1}=\dfrac{x}{-x}\cdot (x+1)$$ olarak görebiliriz.
Sadeleştirme: - $x$'leri sadeleştirirsek ($x\ne 0$ olmak üzere) $$\frac{x}{-x}\cdot (x+1)=-(x+1)$$ ($0$ noktasında sürekli olan) polinomunu elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $0$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$-(x+1) \mapsto -(0+1)=-1.$$
Çözüm:
$0/0$ tipi belirsizlik var. Polinom kesiri elde edebilmek için payı ve paydayı $x+1$ ile çarpalım. $x$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim. Bu yol ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x}{(x+1)^{-1}-1}\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \left[ \dfrac{x}{(x+1)^{-1}-1}\cdot\frac{x+1}{x+1}\right]\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \left[ \dfrac{x}{1-(x+1)}\cdot(x+1)\right]\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \left[ \dfrac{x}{-x}\cdot (x+1)\right]\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \left[ -(x+1)\right]\\[12pt]\ &= \ -(0+1)\\[12pt]\ &= \ -1\end{align*}eşitliğini buluruz.