Soru analizi:
- Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom kesirlerinin kesiri olan ifadeyi ilk olarak bir polinom kesiri olarak yazalım ve polinom kesirleri üzerindeki $0/0$ belirsizliği üzerine olan yöntemleri kullanalım.
Çözüm yöntemi:
Polinom kesiri olarak yazma:
- Payı ve paydayı $x$ ile çarparsak $$\dfrac{2(x+2)^{-1}-1}{3(x+3)^{-1}-1} = \dfrac{2(x+2)^{-1}-1}{3(x+3)^{-1}-1}\cdot\frac{(x+2)\cdot(x+3)}{(x+3)\cdot(x+2)}= \dfrac{2-(x+2)}{3-(x+3)}\cdot \frac{x+3}{x+2}$$ olarak yazabiliriz.
Belirsizlik veren kısımla ilgilenme: - Bize $0/0$ belirsizliğini veren ilk polinom kesiri. Pay ve payda $x$ polinomunu çarpan olarak içeriyor. Sadeleştirme adına ifadeyi $$\dfrac{2-(x+2)}{3-(x+3)}=\dfrac{-x}{-x}$$ olarak yazabiliriz.
Bu düzenlemelerle ifademizi $$\dfrac{2(x+2)^{-1}-1}{3(x+3)^{-1}-1}=\dfrac{-x}{-x}\cdot \frac{x+3}{x+2}$$ olarak görebiliriz.
Sadeleştirme: - $x$'leri sadeleştirirsek ($x\ne 0$ olmak üzere) $$\dfrac{-x}{-x}\cdot \frac{x+3}{x+2}=\frac{x+3}{x+2}$$ ($0$ noktasında sürekli olan) polinom kesirini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $0$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$\frac{x+3}{x+2} \mapsto \frac{0+3}{0+2}=\frac32.$$
Çözüm:
$0/0$ tipi belirsizlik var. Polinom kesiri elde edebilmek için payı ve paydayı $x+2$ ve $x+3$ ile çarpalım. $-x$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim. Bu yol ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{2(x+2)^{-1}-1}{3(x+3)^{-1}-1}\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \left[ \dfrac{2(x+2)^{-1}-1}{3(x+3)^{-1}-1}\cdot\frac{(x+2)\cdot(x+3)}{(x+3)\cdot(x+2)}\right]\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \left[\dfrac{2-(x+2)}{3-(x+3)}\cdot \frac{x+3}{x+2}\right]\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \left[\dfrac{-x}{-x}\cdot \frac{x+3}{x+2}\right]\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \frac{x+3}{x+2}\\[12pt]\ &= \ \frac{0+3}{0+2}\\[12pt]\ &= \ \frac32\end{align*}eşitliğini buluruz.