Soru analizi:
- $4$ noktasında sürekli olan $x^2-7x+12$ ve $x^2-16$ polinomlarının oluşturduğu kesirin limiti ile ilgileniyoruz.
- $4$ noktasında $x^2-7x+12$ ve $x^2-16$ polinomlarının değerini hesaplarsak $$4^2-7\cdot 4+12=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 4^2-16=0$$ olduğunu görürürüz.
Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit oluşur.
Çözüm yöntemi:
- Bir polinomun değerini $0$ yapan bir $a$ değeri varsa $x-a$ bu polinomun bir çarpanı olur.
Buradaki durumda ise $x-4$ iki polinomun da bir çarpanı olur. Bu bilgi ile polinomları $$x^2-7x+12=(x-4)\cdot(x-3) \ \ \ \text{ ve } \ \ \ x^2-16=(x-4)\cdot(x+4)$$ olarak çarpanlara ayırabiliriz.
Bu şekilde ifadeyi $$\dfrac{x^2-7x+12}{x^2-16}=\dfrac{(x-4)\cdot (x-3)}{(x-4)\cdot(x+4)}$$ olarak yazabiliriz.
- Bize $0/0$ belirsizliğini veren payda ve paydada $x-4$ çarpanının bulunması.
$x-4$'leri sadeleştirirsek ($x\ne4$ olmak üzere) $$\dfrac{(x-4)\cdot (x-3)}{(x-4)\cdot(x+4)}=\dfrac{x-3}{x+4}$$ ($4$ noktasında sürekli olan) polinom kesirini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
- Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $4$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$\dfrac{x-3}{x+4} \mapsto \dfrac{4-3}{4+4}=\dfrac18.$$
Çözüm:
$0/0$ tipi belirsizliğimiz var. Payı $(x-4)\cdot (x-3)$ ve paydayı $(x-4)\cdot (x+4)$ olarak çarpanlara ayıralım. $x-4$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim. Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to 4} \dfrac{x^2-7x+12}{x^2-16}\ &= \ \lim\limits_{x\to 4}\dfrac{(x-4)\cdot (x-3)}{(x-4)\cdot(x+4)}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 4}\dfrac{x-3}{x+4}\\[12pt]\ &= \ \dfrac{4-3}{4+4}\\[12pt]\ &= \ \dfrac18\\[12pt]\ &\color{gray}{= \ 0.125}\end{align*}eşitliğini buluruz.