Soru analizi:
- Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom kesirlerinin kesiri olan ifadeyi ilk olarak bir polinom kesiri olarak yazalım ve polinom kesirleri üzerindeki $0/0$ belirsizliği üzerine olan yöntemleri kullanalım.
Çözüm yöntemi:
Polinom kesiri olarak yazma:
- Payı ve paydayı $x$ ile çarparsak $$\dfrac{\dfrac{6}{x+1}- \dfrac{3}{2}}{x-3} = \dfrac{\dfrac{6}{x+1}- \dfrac{3}{2}}{x-3} \cdot\frac{2\cdot(x+1)}{2\cdot(x+1)}= \dfrac{12-3\cdot(x+1)}{x-3}\cdot \frac{1}{2\cdot(x+1)}$$ olarak yazabiliriz.
Belirsizlik veren kısımla ilgilenme: - Bize $0/0$ belirsizliğini veren ilk polinom kesiri. Pay ve payda $x-3$ polinomunu çarpan olarak içeriyor. Sadeleştirme adına ifadeyi $$\dfrac{12-3\cdot(x+1)}{x-3}=\dfrac{9-3x}{x-3}=\dfrac{(x-3)\cdot(-3)}{x-3}$$ olarak yazabiliriz.
Bu düzenlemelerle ifademizi $$\dfrac{\dfrac{6}{x+1}- \dfrac{3}{2}}{x-3}=\dfrac{(x-3)\cdot(-3)}{x-3}\cdot \frac{1}{2\cdot(x+1)}$$ olarak görebiliriz.
Sadeleştirme: - $x-3$'leri sadeleştirirsek ($x\ne3$ olmak üzere) $$\dfrac{(x-3)\cdot(-3)}{x-3}\cdot \frac{1}{2\cdot(x+1)}=\frac{-3}{2\cdot(x+1)}$$ ($3$ noktasında sürekli olan) polinom kesirini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $3$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$\frac{-3}{2\cdot(x+1)}\mapsto \frac{-3}{2\cdot(3+1)}=-\frac38.$$
Çözüm:
$0/0$ tipi belirsizlik var. Polinom kesiri elde edebilmek için payı ve paydayı $2\cdot(x+1)$ ile çarpalım. $x-3$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim. Bu yol ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to 3} \dfrac{\dfrac{6}{x+1}- \dfrac{3}{2}}{x-3}\ &= \ \lim\limits_{x\to 3} \left[ \dfrac{\dfrac{6}{x+1}- \dfrac{3}{2}}{x-3} \cdot\frac{2\cdot(x+1)}{2\cdot(x+1)}\right]\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to 3} \left[\dfrac{12-3\cdot(x+1)}{x-3}\cdot \frac{1}{2\cdot(x+1)}\right]\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to 3} \left[\dfrac{-3\cdot(x-3)}{x-3}\cdot \frac{1}{2\cdot(x+1)}\right]\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to 3} \frac{-3}{2\cdot(x+1)}\\[12pt]\ &= \ \frac{-3}{2\cdot(3+1)}\\[12pt]\ &= \ -\frac38\\[12pt]\ &= \ 0.375\end{align*}eşitliğini buluruz.