Soru analizi:
- Limitlerin farkı yaklaşımı ile elimizde $\infty-\infty$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom kesirlerinin farkı olan ifadeyi ilk olarak bir polinom kesiri olarak yazalım ve elde edilen polinom kesiri üzerinde $0/0$ belirsizliği üzerine olan yöntemleri kullanalım.
Çözüm yöntemi:
Payları çarpanlara ayırma:
- İki kesirdeki payda $0$ noktasında $0$ değerine eşit olduğundan $x$ bunların birer çarpanı olur. Payları $$x=x \ \ \ \text{ ve } \ \ \ x^2+x=x\cdot (x+1)$$ olarak yazabiliriz.
Polinom kesiri olarak yazma: - Paydaları eşitlersek \begin{align*}\frac1x-\frac1{x^2+x} \ &= \ \frac1x-\frac1{x\cdot(x+1)}\\[12pt] &= \ \frac{x+1}{x\cdot(x+1)}-\frac1{x\cdot(x+1)}\\[12pt] &= \ \frac{(x+1)-1}{x\cdot(x+1)}\\[12pt] &= \ \frac{x}{x\cdot(x+1)}\end{align*} olarak yazılabilir.
Sadeleştirme: - $x$'leri sadeleştirirsek ($x\ne 0$ olmak üzere) $$ \frac{x}{x\cdot(x+1)}= \frac{1}{x+1}$$ ($0$ noktasında sürekli olan) polinom kesirini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $0$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$ \frac{1}{x+1} \mapsto \frac{1}{0+1}=1.$$
Çözüm:
$\infty-\infty$ tipi belirsizlik var. Polinom kesiri elde edebilmek için ikinci paydayı $x\cdot(x+1)$ olarak çarpanlara ayıralım ve ortak payda altında toplayıp polinom kesiri elde edelim. $0/0$ tipi belirsizliği gidermek için $x$ sadeleştirmesi yapalım ve sonuca varalım. \begin{align*}\lim_{x\to 0} \left(\frac1x-\frac1{x^2+x}\right)\ &= \ \lim_{x\to 0} \left(\frac1x-\frac1{x\cdot(x+1)}\right)\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 0} \left(\frac{x+1}{x\cdot(x+1)}-\frac1{x\cdot(x+1)}\right)\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 0} \frac{(x+1)-1}{x\cdot(x+1)}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 0} \frac{x}{x\cdot(x+1)}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 0} \frac{1}{x+1}\\[12pt]\ &= \ \frac1{1+1}\\[12pt]\ &= \ \frac12\end{align*}eşitliğini buluruz.