Soru analizi:
- Limitlerin farkı yaklaşımı ile elimizde $\infty-\infty$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom kesirlerinin farkı olan ifadeyi ilk olarak bir polinom kesiri olarak yazalım ve elde edilen polinom kesiri üzerinde $0/0$ belirsizliği üzerine olan yöntemleri kullanalım.
Çözüm yöntemi:
Payları çarpanlara ayırma:
- İki kesirdeki payda $3$ noktasında $0$ değerine eşit olduğundan $x-3$ bunların birer çarpanı olur. Payları $$x-3=x-3 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ x^2-9=(x-3)\cdot (x+3)$$ olarak yazabiliriz.
Polinom kesiri olarak yazma: - Paydaları eşitlersek \begin{align*}\frac1{x-3}-\frac6{x^2-9} \ &= \ \frac1{x-3}-\frac6{(x-3)\cdot(x+3)}\\[12pt] &= \ \frac{x+3}{(x-3)\cdot(x+3)}-\frac6{(x-3)\cdot(x+3)}\\[12pt] &= \ \frac{(x+3)-6}{(x-3)\cdot(x+3)}\\[12pt] &= \ \frac{x-3}{(x-3)\cdot(x+3)}\end{align*} olarak yazılabilir.
Sadeleştirme: - $x-3$'leri sadeleştirirsek ($x\ne 3$ olmak üzere) $$ \frac{x-3}{(x-3)\cdot(x+3)}= \frac{1}{x+3}$$ ($3$ noktasında sürekli olan) polinom kesirini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $3$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$ \frac{1}{x+3} \mapsto \frac{1}{3+3}=\frac16.$$
Çözüm:
$\infty-\infty$ tipi belirsizlik var. Polinom kesiri elde edebilmek için ikinci paydayı $(x-3)\cdot(x+3)$ olarak çarpanlara ayıralım ve ortak payda altında toplayıp polinom kesiri elde edelim. $0/0$ tipi belirsizliği gidermek için $x-3$ sadeleştirmesi yapalım ve sonuca varalım. Bu yol ile\begin{align*}\lim_{x\to 3} \left(\frac1{x-3}-\frac6{x^2-9}\right)\ &= \ \lim_{x\to 3} \left(\frac1{x-3}-\frac6{(x-3)\cdot(x+3)}\right)\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 3} \left(\frac{x+3}{(x-3)\cdot(x+3)}-\frac6{(x-3)\cdot(x+3)}\right)\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 3} \frac{(x+3)-6}{(x-3)\cdot(x+3)}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 3} \frac{x-3}{(x-3)\cdot(x+3)}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 3} \frac{1}{x+3}\\[12pt]\ &= \ \frac1{3+3}\\[12pt]\ &= \ \frac16\end{align*}eşitliğini buluruz.