Soru analizi:
- Limitlerin farkı yaklaşımı ile elimizde $\infty-\infty$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom kesirlerinin farkı olan ifadeyi ilk olarak bir polinom kesiri olarak yazalım ve elde edilen polinom kesiri üzerinde $0/0$ belirsizliği üzerine olan yöntemleri kullanalım.
Çözüm yöntemi:
Payları çarpanlara ayırma:
- İki kesirdeki payda $a$ noktasında $0$ değerine eşit olduğundan $x-a$ bunların birer çarpanı olur. Payları $$x-a=x-a \ \ \ \text{ ve } \ \ \ x^2-a^2=(x-a)\cdot (x+a)$$ olarak yazabiliriz.
Polinom kesiri olarak yazma: - Paydaları eşitlersek \begin{align*}\frac1{x-a}-\frac{2a}{x^2-9} \ &= \ \frac1{x-a}-\frac{2a}{(x-a)\cdot(x+a)}\\[12pt] &= \ \frac{x+a}{(x-a)\cdot(x+a)}-\frac{2a}{(x-a)\cdot(x+a)}\\[12pt] &= \ \frac{(x+a)-2a}{(x-a)\cdot(x+a)}\\[12pt] &= \ \frac{x-a}{(x-a)\cdot(x+a)}\end{align*} olarak yazılabilir.
Sadeleştirme: - $x-a$'lari sadeleştirirsek ($x\ne a$ olmak üzere) $$ \frac{x-a}{(x-a)\cdot(x+a)}= \frac{1}{x+a}$$ ($a$ noktasında sürekli olan) polinom kesirini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $a$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$ \frac{1}{x+a} \mapsto \frac{1}{a+a}=\frac1{2a}.$$
Çözüm:
$\infty-\infty$ tipi belirsizlik var. Polinom kesiri elde edebilmek için ikinci paydayı $(x-a)\cdot(x+a)$ olarak çarpanlara ayıralım ve ortak payda altında toplayıp polinom kesiri elde edelim. $0/0$ tipi belirsizliği gidermek için $x-a$ sadeleştirmesi yapalım ve sonuca varalım. \begin{align*}\lim_{x\to a} \left(\frac1{x-a}-\frac{2a}{x^2-a^2}\right)\ &= \ \lim_{x\to a} \left(\frac1{x-a}-\frac{2a}{(x-a)\cdot(x+a)}\right)\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to a} \left(\frac{x+a}{(x-a)\cdot(x+a)}-\frac{2a}{(x-a)\cdot(x+a)}\right)\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to a} \frac{(x+a)-2a}{(x-a)\cdot(x+a)}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to a} \frac{x-a}{(x-a)\cdot(x+a)}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to a} \frac{1}{x+a}\\[12pt]\ &= \ \frac1{a+a}\\[12pt]\ &= \ \frac1{2a}\end{align*}eşitliğini buluruz.