Soru analizi:
- Limitlerin farkı yaklaşımı ile elimizde $\infty-\infty$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom kesirlerinin farkı olan ifadeyi ilk olarak bir polinom kesiri olarak yazalım ve elde edilen polinom kesiri üzerinde $0/0$ belirsizliği üzerine olan yöntemleri kullanalım.
Çözüm yöntemi:
Payları çarpanlara ayırma:
- İki kesirdeki payda $-4$ noktasında $0$ değerine eşit olduğundan $x+4$ bunların birer çarpanı olur. Payları $$x+4=x+4 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ x^2+11x+28=(x+4)\cdot (x+7)$$ olarak yazabiliriz.
Polinom kesiri olarak yazma: - Paydaları eşitlersek \begin{align*}\frac1{x+4}-\frac3{x^2+11x+28} \ &= \ \frac1{x+4}-\frac3{(x+4)\cdot(x+7)}\\[12pt] &= \ \frac{x+7}{(x+4)\cdot(x+7)}-\frac3{(x+4)\cdot(x+7)}\\[12pt] &= \ \frac{(x+7)-3}{(x+4)\cdot(x+7)}\\[12pt] &= \ \frac{x+4}{(x+4)\cdot(x+7)}\end{align*} olarak yazılabilir.
Sadeleştirme: - $x+4$'leri sadeleştirirsek ($x\ne -4$ olmak üzere) $$ \frac{x+4}{(x+4)\cdot(x+7)}= \frac{1}{x+7}$$ ($-4$ noktasında sürekli olan) polinom kesirini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $-4$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$ \frac{1}{x+7} \mapsto \frac{1}{(-4)+7}=\frac13.$$
Çözüm:
$\infty-\infty$ tipi belirsizlik var. Polinom kesiri elde edebilmek için ilk olarak ikinci paydayı $(x+4)\cdot(x+7)$ olarak çarpanlara ayıralım. Daha sonra ortak payda altında toplayıp polinom kesiri elde edelim. $0/0$ tipi belirsizliği gidermek için $x+4$ sadeleştirmesi yapalım ve sonuca varalım. Bu yol ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to -4}& \left(\dfrac{1}{x+4}-\dfrac{3}{x^2+11x+28}\right)\\[12pt] &= \ \lim\limits_{x\to -4} \left(\dfrac{1}{x+4}-\dfrac{3}{(x+4)\cdot(x+7)}\right)\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to -4} \left(\dfrac{x+7}{(x+4)\cdot(x+7)}-\dfrac{3}{(x+4)\cdot(x+7)}\right)\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to -4} \dfrac{(x+7)-3}{(x+4)\cdot(x+7)}\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to -4} \dfrac{x+4}{(x+4)\cdot(x+7)}\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to -4} \dfrac{1}{x+7}\\[12pt]\ &= \ \frac{1}{-4+7}\\[12pt]\ &= \ \frac13\end{align*}eşitliğini buluruz.