Soru analizi:
- Limitlerin toplamı yaklaşımı ile elimizde $\infty+(-\infty)$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom kesirlerinin farkı olan ifadeyi ilk olarak bir polinom kesiri olarak yazalım ve elde edilen polinom kesiri üzerinde $0/0$ belirsizliği üzerine olan yöntemleri kullanalım.
Çözüm yöntemi:
Payları çarpanlara ayırma:
- İki kesirdeki payda $1$ noktasında $0$ değerine eşit olduğundan $x-1$ bunların birer çarpanı olur. Payları $$x-1=x-1 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ x^2-3x+2=(x-1)\cdot (x-2)$$ olarak yazabiliriz.
Polinom kesiri olarak yazma: - Paydaları eşitlersek \begin{align*}\frac3{x-1}+\frac{x+2}{x^2-3x+2} \ &= \ \frac3{x-1}+\frac{x+2}{(x-1)\cdot(x-2)}\\[12pt] &= \ \frac{3\cdot (x-2)}{(x-1)\cdot(x-2)}+\frac{x+2}{(x-1)\cdot(x-2)}\\[12pt] &= \ \frac{3\cdot (x-2)+(x+2)}{(x-1)\cdot(x-2)}\\[12pt] &= \ \frac{4x-4}{(x-1)\cdot(x-2)}\\[12pt] &= \ \frac{(x-1)\cdot 4}{(x-1)\cdot(x-2)}\end{align*} olarak yazılabilir.
Sadeleştirme: - $x-1$'leri sadeleştirirsek ($x\ne 1$ olmak üzere) $$ \frac{(x-1)\cdot 4}{(x-1)\cdot(x-2)}= \frac{4}{x-2}$$ ($1$ noktasında sürekli olan) polinom kesirini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $1$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$ \frac{4}{x-2} \mapsto \frac{4}{1-2}=-4.$$
Çözüm:
$\infty-\infty$ tipi belirsizlik var. Polinom kesiri elde edebilmek için ikinci paydayı $(x-1)\cdot (x-2)$ olarak çarpanlara ayıralım ve ortak payda altında toplayıp polinom kesiri elde edelim. $0/0$ tipi belirsizliği gidermek için $x+4$ sadeleştirmesi yapalım ve sonuca varalım. Bu yol ile \begin{align*}\lim_{x\to 1} &\left(\frac{3}{x-1}+\frac{x+2}{x^2-3x+2} \right)\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 1} \left(\frac{3}{x-1}+\frac{x+2}{(x-1)\cdot (x-2)} \right)\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 1} \left(\frac{3\cdot (x-2)}{(x-1)\cdot (x-2)}+\frac{x+2}{(x-1)\cdot (x-2)} \right)\\[12pt]\ &=\ \lim_{x\to 1} \frac{3\cdot (x-2)+(x+2)}{(x-2)\cdot (x-1)}\\[12pt]\ &=\ \lim_{x\to 1} \frac{4x-4}{(x-1)\cdot (x-2)}\\[12pt]\ &=\ \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)\cdot 4}{(x-1)\cdot (x-2)}\\[12pt]\ &=\ \lim_{x\to 1} \frac{4}{x-2}\\[12pt]\ &=\ \frac{4}{1-2}\\[12pt]
\ &=\ -4\end{align*}eşitliğini buluruz.