Soru analizi:
- Limitlerin toplamı yaklaşımı ile elimizde $\infty-\infty$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom kesirlerinin farkı olan ifadeyi ilk olarak bir polinom kesiri olarak yazalım ve elde edilen polinom kesiri üzerinde $0/0$ belirsizliği üzerine olan yöntemleri kullanalım.
Çözüm yöntemi:
Payları çarpanlara ayırma:
- İki kesirdeki payda $2$ noktasında $0$ değerine eşit olduğundan $x-2$ bunların birer çarpanı olur. Payları $$2x-4=2\cdot (x-2) \ \ \ \text{ ve } \ \ \ x^2-3x+2=(x-2)\cdot (x-1)$$ olarak yazabiliriz.
Polinom kesiri olarak yazma: - Paydaları eşitlersek \begin{align*}\frac x{2x-4}-\frac{2x-3}{x^2-3x+2} \ &= \ \frac x{2\cdot(x-2)}-\frac{2x-3}{(x-2)\cdot(x-1)}\\[12pt] &= \ \frac{x\cdot (x-1)}{2\cdot (x-2)\cdot(x-1)}-\frac{2\cdot (2x-3)}{2\cdot (x-2)\cdot(x-1)}\\[12pt] &= \ \frac{x\cdot (x-1)-2\cdot (2x-3)}{2\cdot (x-2)\cdot(x-1)}\\[12pt] &= \ \frac{x^2-5x-6}{2\cdot (x-1)\cdot(x-2)}\end{align*} olarak yazılabilir.
Payı çarpanlara ayırma: - Son eşitlikte pay $2$ noktasında $0$ değerini aldığından $x-2$ bir çarpanı olur. Sadeleştirme adına ifade $$\frac{x^2-5x-6}{2\cdot (x-1)\cdot(x-2)}\ = \ \frac{(x-2)\cdot (x-3)}{2\cdot (x-2)\cdot(x-1)}$$ olarak düzenlenebilir.
Sadeleştirme: - $x-2$'leri sadeleştirirsek ($x\ne 2$ olmak üzere) $$ \frac{(x-2)\cdot (x-3)}{2\cdot (x-2)\cdot(x-1)}= \frac{x-3}{2\cdot(x-1)}$$ ($1$ noktasında sürekli olan) polinom kesirini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $2$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$ \frac{x-3}{2\cdot(x-1)} \mapsto \frac{2-3}{2\cdot (2-1)}=-\frac12.$$
Çözüm:
$\infty-\infty$ tipi belirsizlik var. Polinom kesiri elde edebilmek için paydaları $2\cdot(x-2)$ ve $(x-2)\cdot(x-1)$ olarak çarpanlara ayıralım ve daha sonra ortak payda altında toplayıp polinom kesiri elde edelim. \begin{align*}\lim_{x\to 2} &\left(\frac{x}{2x-4}-\frac{2x-3}{x^2-3x+2} \right)\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 2} \left(\frac{x}{2\cdot(x-2)}-\frac{2x-3}{(x-2)\cdot(x-1)} \right)\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 2} \left(\frac{x\cdot(x-1)}{2\cdot(x-2)\cdot(x-1)}-\frac{2\cdot(2x-3)}{2\cdot(x-2)\cdot(x-1)} \right)\\[12pt]\ &=\ \lim_{x\to 2} \frac{x\cdot(x-1)-2\cdot(2x-3)}{2\cdot(x-2)\cdot(x-1)}\\[12pt]\ &=\ \lim_{x\to 2} \frac{x^2-5x-6}{2\cdot(x-2)\cdot(x-1)}
\end{align*}$0/0$ tipi belirsizlik var. İlk olarak payı $(x-2)\cdot(x-3)$ olarak çarpanlara ayıralım ve daha sonra $x-2$ sadeleştirmesi yaparak sonuca varalım.\begin{align*}\phantom{\lim_{x\to 2}}\ &=\ \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)\cdot(x-3)}{2\cdot(x-2)\cdot(x-1)}\\[12pt]\ &=\ \lim_{x\to 2} \frac{x-3}{2\cdot(x-1)}\\[12pt]\ &=\ \frac{2-3}{2\cdot(2-1)}\\[12pt]\ &=\ -\frac12\\[12pt]\ &=\ -0.5\end{align*}eşitliğini buluruz.