Soru analizi:
- Limitlerin toplamı yaklaşımı ile elimizde $\infty-\infty$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom kesirlerinin farkı olan ifadeyi ilk olarak bir polinom kesiri olarak yazalım ve elde edilen polinom kesiri üzerinde $0/0$ belirsizliği üzerine olan yöntemleri kullanalım.
Çözüm yöntemi:
Payları çarpanlara ayırma:
- İki kesirdeki payda $1$ noktasında $0$ değerine eşit olduğundan $x-1$ bunların birer çarpanı olur. Payları $$x-1=x-1 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ x^3-1=(x-1)\cdot (x^2+x+1)$$ olarak yazabiliriz.
Polinom kesiri olarak yazma: - Paydaları eşitlersek \begin{align*}\frac 1{x-1}-\frac{3}{x^3-1} \ &= \ \frac 1{x-1}-\frac{3}{(x-1)\cdot(x^2+x+1)}\\[12pt] &= \ \frac{x^2+x+1}{(x-1)\cdot(x^2+x+1)}-\frac{3}{(x-1)\cdot(x^2+x+1)}\\[12pt] &= \ \frac{(x^2+x+1)-3}{(x-1)\cdot(x^2+x+1)}\\[12pt] &= \ \frac{x^2+x-2}{(x-1)\cdot(x^2+x+1)}\end{align*} olarak yazılabilir.
Payı çarpanlara ayırma: - Son eşitlikte pay $1$ noktasında $0$ değerini aldığından $x-1$ bir çarpanı olur. Sadeleştirme adına ifade $$\frac{x^2+x-2}{(x-1)\cdot(x^2+x+1)}\ = \ \frac{(x-1)\cdot (x+2)}{(x-1)\cdot(x^2+x+1)}$$ olarak düzenlenebilir.
Sadeleştirme: - $x-1$'leri sadeleştirirsek ($x\ne 1$ olmak üzere) $$ \frac{(x-1)\cdot (x+2)}{(x-1)\cdot(x^2+x+1)}= \frac{x+2}{x^2+x+1}$$ ($1$ noktasında sürekli olan) polinom kesirini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $1$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$ \frac{x+2}{x^2+x+1} \mapsto \frac{1+2}{1^2+1+1}=1.$$
Çözüm:
$\infty-\infty$ tipi belirsizlik var. Polinom kesiri elde edebilmek için ikinci paydayı $(x-1)\cdot (x^2+x+1)$ olarak çarpanlara ayıralım ve ortak payda altında toplayıp polinom kesiri elde edelim. \begin{align*}\lim\limits_{x\to 1} &\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{3}{x^3-1}\right)\\[12pt] &= \ \lim\limits_{x\to 1} \left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{3}{(x-1)\cdot (x^2+x+1)}\right)\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 1} \left(\dfrac{x^2+x+1}{(x-1)\cdot (x^2+x+1)}-\dfrac{3}{(x-1)\cdot (x^2+x+1)}\right)\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to -1} \dfrac{x^2+x-2}{(x-1)\cdot (x^2+x+1)}\end{align*}$0/0$ tipi belirsizlik var. İlk olarak payı $(x-1)\cdot (x+2)$ olarak çarpanlara ayıralım ve daha sonra $x-1$ sadeleştirmesi yaparak sonuca varalım.\begin{align*}\phantom{\lim\limits_{x\to 1}}\ &= \ \lim\limits_{x\to 1} \dfrac{(x-1)\cdot (x+2)}{(x-1)\cdot (x^2+x+1)}\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to 1} \dfrac{x+2}{x^2+x+1}\\[12pt]\ &= \ \frac{1+2}{1^2+1+1}\\[12pt]\ &= \ 1\end{align*}eşitliğini buluruz.