Soru analizi:
- Limitlerin toplamı yaklaşımı ile elimizde $\infty+(-\infty)$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom kesirlerinin farkı olan ifadeyi ilk olarak bir polinom kesiri olarak yazalım ve elde edilen polinom kesiri üzerinde $0/0$ belirsizliği üzerine olan yöntemleri kullanalım.
Çözüm yöntemi:
Payları çarpanlara ayırma:
- İki kesirdeki payda $-1$ noktasında $0$ değerine eşit olduğundan $x+1$ bunların birer çarpanı olur. Payları $$x+1=x+1 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ x^3+1=(x+1)\cdot (x^2-x+1)$$ olarak yazabiliriz.
Polinom kesiri olarak yazma: - Paydaları eşitlersek \begin{align*}\frac 1{x+1}+\frac{2x-1}{x^3+1} \ &= \ \frac 1{x+1}+\frac{2x-1}{(x+1)\cdot(x^2-x+1)}\\[12pt] &= \ \frac{x^2-x+1}{(x+1)\cdot(x^2-x+1)}+\frac{2x-1}{(x+1)\cdot(x^2-x+1)}\\[12pt] &= \ \frac{(x^2-x+1)+(2x-1)}{(x-1)\cdot(x^2-x+1)}\\[12pt] &= \ \frac{x^2+x}{(x+1)\cdot(x^2-x+1)}\end{align*} olarak yazılabilir.
Payı çarpanlara ayırma: - Son eşitlikte pay $-1$ noktasında $0$ değerini aldığından $x+1$ bir çarpanı olur. Sadeleştirme adına ifade $$\frac{x^2+x}{(x+1)\cdot(x^2-x+1)}\ = \ \frac{(x+1)\cdot x}{(x+1)\cdot(x^2-x+1)}$$ olarak düzenlenebilir.
Sadeleştirme: - $x+1$'leri sadeleştirirsek ($x\ne -1$ olmak üzere) $$\frac{(x+1)\cdot x}{(x+1)\cdot(x^2-x+1)}= \frac{x}{x^2-x+1}$$ ($1$ noktasında sürekli olan) polinom kesirini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $-1$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$ \frac{x}{x^2-x+1} \mapsto \frac{-1}{(-1)^2-(-1)+1}=-\frac13.$$
Çözüm:
$\infty-\infty$ tipi belirsizlik var. Polinom kesiri elde edebilmek için ikinci paydayı $(x+1)\cdot(x^2-x+1)$ olarak çarpanlara ayıralım ve ortak payda altında toplayıp polinom kesiri elde edelim.\begin{align*}\lim\limits_{x\to -1}& \left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2x-1}{x^3+1}\right)\ = \ \lim\limits_{x\to -1} \left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2x-1}{(x+1)\cdot(x^2-x+1)}\right)\\[21pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to -1} \left(\dfrac{x^2-x+1}{(x+1)\cdot(x^2-x+1)}+\dfrac{2x-1}{(x+1)\cdot(x^2-x+1)}\right)\\[21pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to -1} \dfrac{x^2+x}{(x+1)\cdot(x^2-x+1)}\end{align*}$0/0$ tipi belirsizlik var. Payı $x\cdot(x+1)$ olarak çarpanlara ayıralım ve $x+4$ sadeleştirmesi yaparak sonuca varalım.\begin{align*}
\phantom{\lim\limits_{x\to -1}}\ &= \ \lim\limits_{x\to -1} \dfrac{x\cdot(x+1)}{(x+1)\cdot(x^2-x+1)}\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to -1} \dfrac{x}{x^2-x+1}\\[12pt]\ &= \ \frac{-1}{(-1)^2-(-1)+1}\\[12pt]\ &= \ -\frac13\end{align*}eşitliğini buluruz.