Soru analizi:
- $2$ noktasında sürekli olan $x^2+x-6$ ve $x^2-3x+2$ polinomlarının oluşturduğu kesirin limiti ile ilgileniyoruz.
- $2$ noktasında $x^2+x-6$ ve $x^2-3x+2$ polinomlarının değerini hesaplarsak $$2^2+2-6=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 2^2-3\cdot2+2=0$$ olduğunu görürürüz.
Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit oluşur.
Çözüm yöntemi:
- Bir polinomun değerini $0$ yapan bir $a$ değeri varsa $x-a$ bu polinomun bir çarpanı olur.
Buradaki durumda ise $x-2$ iki polinomun da bir çarpanı olur. Bu bilgi ile polinomları $$x^2+x-6=(x-2)\cdot(x+3) \ \ \ \text{ ve } \ \ \ x^2-3x+2=(x-2)\cdot(x-1)$$ olarak çarpanlara ayırabiliriz.
Bu şekilde ifadeyi $$\dfrac{x^2+x-6}{x^2-3x+2}=\dfrac{(x-2)\cdot (x+3)}{(x-2)\cdot(x-1)}$$ olarak yazabiliriz.
- Bize $0/0$ belirsizliğini veren payda ve paydada $x-2$ çarpanının bulunması.
$x-2$'leri sadeleştirirsek ($x\ne2$ olmak üzere) $$\dfrac{(x-2)\cdot (x+3)}{(x-2)\cdot(x-1)}=\dfrac{x+3}{x-1}$$ ($2$ noktasında sürekli olan) polinom kesirini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
- Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $2$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$\dfrac{x+3}{x-1} \mapsto \dfrac{2+3}{2-1}=5.$$
Çözüm:
$0/0$ tipi belirsizliğimiz var. Payı $(x-2)\cdot (x+3)$ ve paydayı $(x-2)\cdot (x-1)$ olarak çarpanlara ayıralım. $x-2$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim. Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{x^2+x-6}{x^2-3x+2}\ &= \ \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{(x-2)\cdot (x+3)}{(x-2)\cdot(x-1)}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 2}\dfrac{x+3}{x-1}\\[12pt]\ &= \ \dfrac{2+3}{2-1}\\[12pt]\ &= \ 5\end{align*}eşitliğini buluruz.