Soru analizi:
- Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom köklerine sahip ifademiz var. $0/0$ belirsizliğini polinom kesirine taşıyarak sonuca ulaşalım.
Çözüm yöntemi:
Belirsizliği polinom kesirine aktarma:
- Köklerden kurtulabilmek adına iki kare farkından yararlanalım. Payı ve paydayı $\sqrt{x^2+9}+3$ ile çarparsak \begin{align*}\dfrac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2} \ &= \ \dfrac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}\cdot \frac{\sqrt{x^2+9}+3}{\sqrt{x^2+9}+3}\\[12pt] &= \ \dfrac{(x^2+9)-3^2}{x^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+9}+3}\\[12pt] &= \ \dfrac{x^2}{x^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+9}+3}\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Sadeleştirme: - $x^2$'leri sadeleştirirsek ($x\ne 0$ olmak üzere) $$\dfrac{x^2}{x^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+9}+3}=\frac{1}{\sqrt{x^2+9}+3}$$ ($0$ noktasında sürekli olan) ifadesini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $0$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$\frac{1}{\sqrt{x^2+9}+3} \mapsto \frac{1}{\sqrt{0^2+9}+3}=\frac16.$$
Çözüm:
$0/0$ belirsizliğimiz var. Payı polinom yapıp limiti polinom bölmesine çevirebilmek için payı ve paydayı (limiti sıfır olmayan) $\sqrt{x^2+9}+3$ ile çarpalım. $x^2$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim ve sonuca ulaşalım. Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \left(\dfrac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}\cdot \frac{\sqrt{x^2+9}+3}{\sqrt{x^2+9}+3}\right)\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0} \left(\dfrac{(x^2+9)-3^2}{x^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+9}+3}\right)\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0} \left(\dfrac{x^2}{x^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+9}+3}\right)\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1}{\sqrt{x^2+9}+3}\\[12pt]&= \ \frac{1}{\sqrt{0^2+9}+3}\\[12pt]&= \ \frac16\end{align*}eşitliğini buluruz.