Soru analizi:
- Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom köklerine sahip ifademiz var. $0/0$ belirsizliğini polinom kesirine taşıyarak sonuca ulaşalım.
Çözüm yöntemi:
Belirsizliği polinom kesirine aktarma:
- Köklerden kurtulabilmek adına iki kare farkından yararlanalım. Payı ve paydayı $\sqrt{x^2+7}+4$ ile çarparsak \begin{align*}\dfrac{\sqrt{x^2+7}-4}{x-3} \ &= \ \dfrac{\sqrt{x^2+7}-4}{x-3}\cdot \frac{\sqrt{x^2+7}+4}{\sqrt{x^2+7}+4}\\[12pt] &= \ \dfrac{(x^2+7)-4^2}{x-3}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+7}+4}\\[12pt] &= \ \dfrac{x^2-9}{x-3}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+7}+4}\end{align*} olarak yazabiliriz.
Çarpanlara ayırma: - Son eşitlikteki polinom kesiri ile ilgilenirsek payda ve payda $3$ noktasında $0$ değerini aldığından $x-3$ bir çarpanı olur. Sadeleştirme adına bu ifadeyi $$\frac{x^2-9}{x-3}\ = \ \frac{(x-3)\cdot (x+3)}{x-3}$$ olarak düzenlenebilir.
Bu düzenleme ile iç ifade $$\dfrac{x^2-9}{x-3}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+7}+4}=\dfrac{(x-3)\cdot (x+3)}{x-3}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+7}+4}$$ olarak yazılabilir.
Sadeleştirme:- $x-3$'leri sadeleştirirsek ($x\ne 3$ olmak üzere) $$\dfrac{(x-3)\cdot (x+3)}{x-3}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+7}+4}=(x+3)\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+7}+4}$$ ($3$ noktasında sürekli olan) ifadesini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $3$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$(x+3)\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+7}+4}\mapsto(3+3)\cdot \frac{1}{\sqrt{3^2+7}+4}=\frac34.$$
Çözüm:
$0/0$ belirsizliğimiz var. Payı polinom yapıp limiti polinom bölmesine çevirebilmek için payı ve paydayı (limiti sıfır olmayan) $\sqrt{x^2+7}+4$ ile çarpalım.\begin{align*}\lim\limits_{x\to 3} \dfrac{\sqrt{x^2+7}-4}{x-3}\ &= \ \lim\limits_{x\to 3} \left(\dfrac{\sqrt{x^2+7}-4}{x-3}\cdot \frac{\sqrt{x^2+7}+4}{\sqrt{x^2+7}+4}\right)\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 3} \left(\dfrac{(x^2+7)-4^2}{x-3}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+7}+4}\right)\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 3} \left(\dfrac{x^2-9}{x-3}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+7}+4}\right)\end{align*}İkinci ifadenin limiti var olduğundan polinom kesiri olan ilk ifade ile ilgilenelim. Payı $(x-3)\cdot(x+3)$ olarak çarpanlarına ayıralım. $x-3$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim ve sonuca ulaşalım. Bu yol ile\begin{align*}\phantom{\lim\limits_{x\to 3} \dfrac{\sqrt{x^2+7}-4}{x-3}}\ &= \ \lim\limits_{x\to 3}\left( \dfrac{(x-3)\cdot(x+3)}{x-3}\cdot\frac1{\sqrt{x^2+7}+4}\right)\\[12pt]\ &= \ \lim\limits_{x\to 3}\left((x+3)\cdot \frac1{\sqrt{x^2+7}+4}\right)\\[12pt]&= \ (3+3)\cdot\frac{1}{\sqrt{3^2+7}+4}\\[12pt]&= \ \frac34\end{align*}eşitliğini buluruz.