Soru analizi:
- Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom köklerine sahip ifademiz var. $0/0$ belirsizliğini polinom kesirine taşıyarak sonuca ulaşalım.
Çözüm yöntemi:
Belirsizliği polinom kesirine aktarma:
- Köklerden kurtulabilmek adına iki kare farkından yararlanalım. Payı ve paydayı $1+\sqrt{x-2}$ ile çarparsak \begin{align*}\dfrac{1-\sqrt{x-2}}{x^2-9} \ &= \ \dfrac{1-\sqrt{x-2}}{x^2-9}\cdot \frac{1+\sqrt{x-2}}{1+\sqrt{x-2}}\\[12pt] &= \ \dfrac{1^2-(x-2)}{x^2-9}\cdot \frac{1}{1+\sqrt{x-2}}\\[12pt] &= \ \dfrac{3-x}{x^2-9}\cdot \frac{1}{1+\sqrt{x-2}}\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Çarpanlara ayırma: - Son eşitlikteki polinom kesiri ile ilgilenirsek payda ve payda $3$ noktasında $0$ değerini aldığından $x-3$ bir çarpanı olur. Sadeleştirme adına bu ifadeyi $$\frac{3-x}{x^2-9}\ = \ \frac{-(x-3)}{(x-3)\cdot (x+3)}$$ olarak düzenlenebilir.
Bu düzenleme ile iç ifade $$\dfrac{-(x-3)}{x^2-9}\cdot \frac{1}{1+\sqrt{x-2}}=\dfrac{-(x-3)}{(x-3)\cdot (x+3)}\cdot \frac{1}{1+\sqrt{x-2}}$$ olarak yazılabilir.
Sadeleştirme:- $x-3$'leri sadeleştirirsek ($x\ne 3$ olmak üzere) $$\dfrac{-(x-3)}{(x-3)\cdot (x+3)}\cdot \frac{1}{1+\sqrt{x-2}}=\dfrac{-1}{x+3}\cdot \frac{1}{1+\sqrt{x-2}}$$ ($3$ noktasında sürekli olan) ifadesini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $3$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$\dfrac{-1}{x+3}\cdot \frac{1}{1+\sqrt{x-2}}\mapsto\dfrac{-1}{3+3}\cdot \frac{1}{1+\sqrt{3-2}}=-\frac1{12}.$$
Çözüm:
$0/0$ belirsizliğimiz var. Payı polinom yapıp limiti polinom bölmesine çevirebilmek için payı ve paydayı (limiti sıfır olmayan) $1+\sqrt{x-2}$ ile çarpalım.\begin{align*}\lim\limits_{x\to 3} \dfrac{1-\sqrt{x-2}}{x^2-9}\ &=\ \lim\limits_{x\to 3} \left(\dfrac{1-\sqrt{x-2}}{x^2-9}\cdot \frac{1+\sqrt{x-2}}{1+\sqrt{x-2}}\right)\\[12pt]&= \ \lim_{x\to 3}\left(\frac{1^2-(x-2)}{x^2-9}\cdot\frac1{1+\sqrt{x-2}}\right)\\[12pt]&= \ \lim_{x\to 3}\left(\frac{3-x}{x^2-9}\cdot\frac1{1+\sqrt{x-2}}\right)\end{align*}İkinci ifadenin limiti var olduğundan polinom kesiri olan ilk ifade ile ilgilenelim. Paydayı $(x-3)\cdot (x+3)$ olarak çarpanlarına ayıralım. $x-3$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim ve sonuca ulaşalım. Bu yol ile\begin{align*}\phantom{\lim\limits_{x\to 3} \dfrac{1-\sqrt{x-2}}{x^2-9}\ }&= \ \lim_{x\to 3}\left(\frac{-(x-3)}{(x-3)\cdot (x+3)}\cdot\frac1{1+\sqrt{x-2}}\right)\\[12pt]&= \ \lim_{x\to 3}\left(\frac{-1}{x+3}\cdot\frac1{1+\sqrt{x-2}}\right)\\[12pt]&= \ \frac{-1}{3+3}\cdot \frac{1}{1+\sqrt{3-2}}\\[12pt]&= \ -\frac1{12}\end{align*}eşitliğini buluruz.