Soru analizi:
- Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom köklerine sahip ifademiz var. $0/0$ belirsizliğini polinom kesirine taşıyarak sonuca ulaşalım.
Çözüm yöntemi:
Belirsizliği polinom kesirine aktarma:
- Köklerden kurtulabilmek adına iki kare farkından yararlanalım. Payı ve paydayı $\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$ ile çarparsak \begin{align*}\dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x} \ &= \ \dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}\cdot \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\\[12pt] &= \ \dfrac{(1+x)-(1-x)}{x}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\\[12pt] &= \ \dfrac{2x}{x}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Sadeleştirme: - $x$'leri sadeleştirirsek ($x\ne 0$ olmak üzere) $$\dfrac{2x}{x}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}=2\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}$$ ($0$ noktasında sürekli olan) ifadesini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $0$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$2\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\mapsto2\cdot \frac{1}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}}=1.$$
Çözüm:
$0/0$ belirsizliğimiz var. Payı polinom yapıp limiti polinom bölmesine çevirebilmek için payı ve paydayı (limiti sıfır olmayan) $\sqrt{x^2+9}+3$ ile çarpalım. $x$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim ve sonuca ulaşalım. Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \left[\dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}\cdot \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\right]\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0} \left(\dfrac{(1+x)-(1-x)}{x}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\right)\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0} \left(\dfrac{2x}{x}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\right)\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0} \left(2\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\right)\\[12pt]&= \ 2\cdot \frac{1}{\sqrt{0+1}+\sqrt{1-0}}\\[12pt]&= \ 1\end{align*}eşitliğini buluruz.