Soru analizi:
- Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom köklerine sahip ifademiz var. $0/0$ belirsizliğini polinom kesirine taşıyarak sonuca ulaşalım.
Çözüm yöntemi:
Belirsizliği polinom kesirine aktarma:
- Köklerden kurtulabilmek adına iki kare farkından yararlanalım. Payı ve paydayı $\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+3x-1}$ ile çarparsak \begin{align*}&\ \dfrac{x^2+x-6}{\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+3x-1}} \\[12pt] &= \ \dfrac{x^2+x-6}{\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+3x-1}}\cdot \frac{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+3x-1}}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+3x-1}}\\[12pt] &= \ \dfrac{x^2+x-6}{(2x^2+1)-(x^2+3x-1)}\cdot(\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+3x-1})\\[12pt] &= \ \dfrac{x^2+x-6}{x^2-3x+2}\cdot (\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+3x-1})\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Çarpanlara ayırma: - Son eşitlikteki polinom kesiri ile ilgilenirsek pay ve payda $2$ noktasında $0$ değerini aldığından $x-2$ bir çarpanı olur. Sadeleştirme adına bu ifadeyi $$\dfrac{x^2+x-6}{x^2-3x+2}\ = \ \frac{(x-2)\cdot(x+3)}{(x-2)\cdot (x-1)}$$ olarak düzenlenebilir.
Bu düzenleme ile iç ifade $$ \dfrac{x^2+x-6}{x^2-3x+2}\cdot (\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+3x-1})$$$$=\frac{(x-2)\cdot(x+3)}{(x-2)\cdot (x-1)}\cdot (\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+3x-1})$$ olarak yazılabilir.
Sadeleştirme: - $x-2$'leri sadeleştirirsek ($x\ne 2$ olmak üzere) $$\frac{(x-2)\cdot(x+3)}{(x-2)\cdot (x-1)}\cdot (\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+3x-1})$$$$=\frac{x+3}{x-1}\cdot (\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+3x-1})$$ ($2$ noktasında sürekli olan) ifadesini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $2$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$\frac{x+3}{x-1}\cdot (\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+3x-1})$$$$\mapsto\frac{2+3}{2-1}\cdot (\sqrt{2\cdot 2^2+1}+\sqrt{2^2+3\cdot -1})=30.$$
Çözüm:
$0/0$ belirsizliğimiz var. Paydayı polinom yapıp limiti polinom kesirine çevirebilmek için payı ve paydayı (limiti sıfır olmayan) $\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+3x-1}$ ile çarpalım.\begin{align*}\lim\limits_{x\to 2} &\dfrac{x^2+x-6}{\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+3x-1}}\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 2} \left[\dfrac{x^2+x-6}{\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+3x-1}}\cdot \frac{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+3x-1}}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+3x-1}} \right]\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 2} \left(\dfrac{x^2+x-6}{(2x^2+1)-(x^2+3x-1)}\cdot(\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+3x-1})\right)\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 2} \left(\dfrac{x^2+x-6}{2x^2-3x+2}\cdot (\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+3x-1})\right)\end{align*}İkinci ifadenin limiti var olduğundan polinom kesiri olan ilk ifade ile ilgilenelim. Payı $(x-2)\cdot(x+3)$ ve paydayı $(x-2)\cdot(x-1)$ olarak çarpanlarına ayıralım. $x-2$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim ve sonuca ulaşalım. Bu yol ile\begin{align*}\phantom{\lim\limits_{x\to 2}}&= \ \lim\limits_{x\to 2} \left(\dfrac{(x-2)\cdot(x+3)}{(x-2)\cdot(x-1)}\cdot (\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+3x-1})\right)\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 2} \left(\dfrac{x+3}{x-1}\cdot (\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+3x-1})\right)\\[12pt]&= \ \frac{3+2}{2-1}\cdot (\sqrt{2\cdot2^2+1}+\sqrt{2^2+3\cdot 2-1})\\[12pt]&= \ 30\end{align*}eşitliğini buluruz.