Soru analizi:
- Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom köklerine sahip ifademiz var. $0/0$ belirsizliğini polinom kesirine taşıyarak sonuca ulaşalım.
Çözüm yöntemi:
Belirsizliği polinom kesirine aktarma:
- Köklerden kurtulabilmek adına iki kare farkından yararlanalım. Payı ve paydayı $\sqrt{1+3x}+\sqrt{x+3}$ ve $\sqrt{1+2x}+\sqrt{3x}$ ile çarparsak \begin{align*}& \ \frac{\sqrt{1+3x}-\sqrt{x+3}}{\sqrt{1+2x}-\sqrt{3x}} \\[12pt] &= \ \frac{\sqrt{1+3x}-\sqrt{x+3}}{\sqrt{1+2x}-\sqrt{3x}} \cdot \frac{\sqrt{1+3x}+\sqrt{x+3}}{\sqrt{1+3x}+\sqrt{x+3}}\cdot \frac{\sqrt{1+2x}+\sqrt{3x}}{\sqrt{1+2x}+\sqrt{3x}}\\[12pt] &= \ \frac{(1+3x)-(x+3)}{(1+2x)-(3x)} \cdot \frac{\sqrt{1+2x}+\sqrt{3x}}{\sqrt{1+3x}+\sqrt{x+3}}\\[12pt] &= \ \frac{2\cdot(x-1)}{-(x-1)} \cdot \frac{\sqrt{1+2x}+\sqrt{3x}}{\sqrt{1+3x}+\sqrt{x+3}}\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Sadeleştirme: - $x-1$'leri sadeleştirirsek ($x\ne 1$ olmak üzere) $$\frac{2\cdot(x-1)}{-(x-1)} \cdot \frac{\sqrt{1+2x}+\sqrt{3x}}{\sqrt{1+3x}+\sqrt{x+3}}=-2 \cdot \frac{\sqrt{1+2x}+\sqrt{3x}}{\sqrt{1+3x}+\sqrt{x+3}}$$ ($1$ noktasında sürekli olan) ifadesini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $1$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$2\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\mapsto-2 \cdot \frac{\sqrt{1+2\cdot 1}+\sqrt{3\cdot 1}}{\sqrt{1+3\cdot 1}+\sqrt{1+3}}=-\sqrt3.$$
Çözüm:
$0/0$ belirsizliğimiz var. Payı ve paydayı polinom yapıp limiti polinom bölmesine çevirebilmek için payı ve paydayı (limiti sıfır olmayan) $\sqrt{1+3x}+\sqrt{x+3}$ ve $\sqrt{1+2x}+\sqrt{3x}$ ile çarpalım. $x-1$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim ve sonuca ulaşalım. Bu yol ile\begin{align*}\hspace{-4mm}\lim_{x\to 1}& \frac{\sqrt{1+3x}-\sqrt{x+3}}{\sqrt{1+2x}-\sqrt{3x}}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 1} \left[\frac{\sqrt{1+3x}-\sqrt{x+3}}{\sqrt{1+2x}-\sqrt{3x}} \cdot \frac{\sqrt{1+3x}+\sqrt{x+3}}{\sqrt{1+3x}+\sqrt{x+3}}\cdot \frac{\sqrt{1+2x}+\sqrt{3x}}{\sqrt{1+2x}+\sqrt{3x}}\right]\\[12pt]&= \ \lim_{x\to 1} \left[\frac{(1+3x)-(x+3)}{(1+2x)-(3x)} \cdot \frac{\sqrt{1+2x}+\sqrt{3x}}{\sqrt{1+3x}+\sqrt{x+3}}\right]\\[12pt]&= \ \lim_{x\to 1} \left[\frac{2\cdot(x-1)}{-(x-1)} \cdot \frac{\sqrt{1+2x}+\sqrt{3x}}{\sqrt{1+3x}+\sqrt{x+3}}\right]\\[12pt]&= \ \lim_{x\to 1} \left[-2\cdot \frac{\sqrt{1+2x}+\sqrt{3x}}{\sqrt{1+3x}+\sqrt{x+3}}\right]\\[12pt]&= \ -2\cdot \frac{\sqrt{1+2\cdot1}+\sqrt{3\cdot 1}}{\sqrt{1+3\cdot 1}+\sqrt{1+3}}\\[12pt]&= \ -\sqrt3\end{align*}eşitliğini buluruz.