Soru analizi:
- Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom köklerine sahip ifademiz var. $0/0$ belirsizliğini polinom kesirine taşıyarak sonuca ulaşalım.
Çözüm yöntemi:
Belirsizliği polinom kesirine aktarma:
- Köklerden kurtulabilmek adına iki kare farkından yararlanalım. Payı ve paydayı $2+\sqrt{4+x}$ ve $1+\sqrt{1+x}$ ile çarparsak \begin{align*}&\ \frac{2-\sqrt{4+x}}{1-\sqrt{1+x}} \\[12pt] &= \ \frac{2-\sqrt{4+x}}{1-\sqrt{1+x}} \cdot \frac{2+\sqrt{4+x}}{2+\sqrt{4+x}}\cdot \frac{1+\sqrt{1+x}}{1+\sqrt{1+x}}\\[12pt] &= \ \frac{2^2-(4+x)}{1^2-(1+x)} \cdot \frac{1+\sqrt{1+x}}{2+\sqrt{4+x}}\\[12pt] &= \ \frac{-x}{-x} \cdot \frac{1+\sqrt{1+x}}{2+\sqrt{4+x}}\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Sadeleştirme: - $-x$'leri sadeleştirirsek ($x\ne 0$ olmak üzere) $$\frac{-x}{-x} \cdot \frac{1+\sqrt{1+x}}{2+\sqrt{4+x}}=\frac{1+\sqrt{1+x}}{2+\sqrt{4+x}}$$ ($0$ noktasında sürekli olan) ifadesini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $0$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$\frac{1+\sqrt{1+x}}{2+\sqrt{4+x}}\mapsto \frac{1+\sqrt{1+0}}{2+\sqrt{4+0}}=\frac12.$$
Çözüm:
$0/0$ belirsizliğimiz var. Payı ve paydayı polinom yapıp limiti polinom bölmesine çevirebilmek için payı ve paydayı (limiti sıfır olmayan) $2+\sqrt{4+x}$ ve $1+\sqrt{1+x}$ ile çarpalım. $-x$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim ve sonuca ulaşalım. Bu yol ile\begin{align*}\lim_{x\to 0} \frac{2-\sqrt{4+x}}{1-\sqrt{1+x}}\ &= \ \lim_{x\to 0} \left[\frac{2-\sqrt{4+x}}{1-\sqrt{1+x}} \cdot \frac{2+\sqrt{4+x}}{2+\sqrt{4+x}}\cdot \frac{1+\sqrt{1+x}}{1+\sqrt{1+x}}\right]\\[12pt]&= \ \lim_{x\to 0} \left[\frac{2^2-(4+x)}{1^2-(1+x)} \cdot \frac{1+\sqrt{1+x}}{2+\sqrt{4+x}}\right]\\[12pt]&= \ \lim_{x\to 0} \left[\frac{-x}{-x} \cdot \frac{1+\sqrt{1+x}}{2+\sqrt{4+x}}\right]\\[12pt]&= \ \lim_{x\to 0} \frac{1+\sqrt{1+x}}{2+\sqrt{4+x}}\\[12pt]&= \ \frac{1+\sqrt{1+0}}{2+\sqrt{4+0}} \\[12pt]&= \ \frac12\end{align*}eşitliğini buluruz.