Soru analizi:
- Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom köklerine sahip ifademiz var. $0/0$ belirsizliğini polinom kesirine taşıyarak sonuca ulaşalım.
Çözüm yöntemi:
Belirsizliği polinom kesirine aktarma:
- Köklerden kurtulabilmek adına iki kare farkından yararlanalım. Payı ve paydayı $\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x+1}$ ve $\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}$ ile çarparsak \begin{align*}&\ \frac{\sqrt{x^3+1}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x+1}} \\[12pt] &= \ \frac{\sqrt{x^3+1}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x+1}} \cdot \frac{\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x+1}}\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}\\[12pt] &= \ \frac{(x^3+1)-(x+1)}{(x^2+1)-(x+1)} \cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x+1}}\\[12pt] &= \ \frac{x^3-x}{x^2-x} \cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x+1}}\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Çarpanlara ayırma: - Son eşitlikteki polinom kesiri ile ilgilenirsek payda ve payda $1$ noktasında $0$ değerini aldığından $x-1$ bir çarpanı olur. Sadeleştirme adına bu ifadeyi $$\frac{x^3-x}{x^2-x} \ = \ \frac{(x-1)\cdot(x^2+x)}{(x-1)\cdot x}$$ olarak düzenlenebilir.
Bu düzenleme ile iç ifade $$\frac{x^3-x}{x^2-x} \cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x+1}}$$$$=\frac{(x-1)\cdot(x^2+x)}{(x-1)\cdot x}\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x+1}}$$ olarak yazılabilir.
Sadeleştirme: - $x-$'leri sadeleştirirsek ($x\ne 1$ olmak üzere) $$\frac{(x-1)\cdot(x^2+x)}{(x-1)\cdot x}\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x+1}}$$$$=\frac{x^2+x}{x}\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x+1}}$$ ($1$ noktasında sürekli olan) ifadesini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $1$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$\frac{x^2+x}{x}\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x+1}}$$$$\mapsto\frac{1^2+1}{1}\cdot \frac{\sqrt{1^2+1}+\sqrt{1+1}}{\sqrt{1^3+1}+\sqrt{1+1}}=2.$$
Çözüm:
$0/0$ belirsizliğimiz var. Payı ve paydayı polinom yapıp limiti polinom bölmesine çevirebilmek için payı ve paydayı (limiti sıfır olmayan) $\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x+1}$ ve $\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}$ ile çarpalım.\begin{align*}\lim_{x\to 1} &\frac{\sqrt{x^3+1}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x+1}}\\[12pt] &= \lim_{x\to 1} \left[\frac{\sqrt{x^3+1}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x+1}} \cdot \frac{\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x+1}}\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}\right]\\[12pt]&= \lim_{x\to 1} \left[\frac{(x^3+1)-(x+1)}{(x^2+1)-(x+1)} \cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x+1}}\right]\\[12pt]&= \lim_{x\to 1} \left[\frac{x^3-x}{x^2-x} \cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x+1}}\right]\end{align*}Polinom kesirinin payını $(x-1)\cdot(x^2+1)$ ve paydasını $(x-1)\cdot x$ olarak çarpanlara ayıralım; $x$ (ve isteğe bağlı $x-1$) sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim ve sonuca ulaşalım. Bu yol ile\begin{align*}\phantom{\lim_{x\to 0} }\ &= \ \lim_{x\to 1} \left[\frac{(x-1)\cdot(x^2+x)}{(x-1)\cdot x} \cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x+1}}\right]\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 1} \left[\dfrac{x^2+x}{x} \cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x+1}}\right]\\[12pt]\ &= \ \dfrac{1^2+1}{1} \cdot \frac{\sqrt{1^2+1}+\sqrt{1+1}}{\sqrt{1^3+1}+\sqrt{1+1}}\\[12pt]\ &= \ 2\end{align*}eşitliğini buluruz.