Soru analizi:
- Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom mutlaklarına sahip ifademiz var. $0/0$ belirsizliğini polinom kesirine taşıyarak sonuca ulaşalım.
Çözüm yöntemi:
Polinom kesirine çevirme:
- $x<3$ olduğunda $x-3<0$ olur ve $$|x-3|=3-x$$ eşitliği sağlanır. Bu bilgi ile, $x<3$ için, $$\frac{x^2-9}{|x-3|}=\frac{x^2-9}{3-x}$$ eşitliği sağlanır.
Çarpanlara ayırma: - Pay ve payda $3$ noktasında $0$ değerini aldığından $x-3$ bir çarpanı olur. Sadeleştirme adına bu ifadeyi $$\dfrac{x^2-9}{3-x}\ = \ \frac{(x-3)\cdot(x+3)}{-(x-3)}$$ olarak düzenlenebilir.
Sadeleştirme: - $x-3$'leri sadeleştirirsek ($x\ne 3$ olmak üzere) $$\frac{(x-3)\cdot(x+3)}{-(x-3)}=-(x+3)$$ ($3$ noktasında sürekli olan) ifadesini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $3$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$-(x+3) \mapsto -(3+3)=-6.$$
Çözüm:
$0/0$ belirsizliğimiz var. Mutlak değerlerin işaretlerini inceleyerek limiti polinom bölmesine çevirelim.
$x<3$ için $|x-3|=3-x$ olduğunu kullanalım. Payı $(x-3)\cdot (x+3)$ olarak çarpanlara ayıralım ve $x-3$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim. Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to 3^-} \dfrac{x^2-9}{|x-3|}\ &= \ \lim\limits_{x\to 3^-} \frac{x^2-9}{3-x}\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 3^-} \frac{(x-3)\cdot (x+3)}{-(x-3)}\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 3^-}-(x+3)\\[12pt]&= \ -(3+3) \\[12pt]&= \ -6\end{align*}eşitliğini buluruz.