Question

$$\lim\limits_{x\to 3} \dfrac{2x^2-5x-3}{2x^2-11x+15}$$ limitini bulunuz.

Answer 1

Soru analizi:

• $3$ noktasında sürekli olan $2x^2-5x-3$ ve $2x^2-11x+15$ polinomlarının oluşturduğu kesirin limiti ile ilgileniyoruz.
   
• $3$ noktasında $2x^2-5x-3$ ve $2x^2-11x+15$ polinomlarının değerini hesaplarsak $$2\cdot 3^2-5\cdot 3-3=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 2\cdot 3^2-11\cdot3+15=0$$ olduğunu görürürüz.
  
  Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit oluşur. 

---

Çözüm yöntemi:

• Bir polinomun değerini $0$ yapan bir $a$ değeri varsa $x-a$ bu polinomun bir çarpanı olur.
  
  Buradaki durumda ise $x-3$ iki polinomun da bir çarpanı olur. Bu bilgi ile polinomları $$2x^2-5x-3=(x-3)\cdot(2x+1) \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 2x^2-11x+15=(x-3)\cdot(2x-5)$$ olarak çarpanlara ayırabiliriz.
  
  Bu şekilde ifadeyi $$\dfrac{2x^2-5x-3}{2x^2-11x+15}=\dfrac{(x-3)\cdot (2x+1)}{(x-3)\cdot(2x-5)}$$ olarak yazabiliriz.

  ---

• Bize $0/0$ belirsizliğini veren payda ve paydada $x-3$ çarpanının bulunması.
  
  $x-3$'leri sadeleştirirsek ($x\ne3$ olmak üzere) $$\dfrac{(x-3)\cdot (2x+1)}{(x-3)\cdot(2x-5)}=\dfrac{2x+1}{2x-5}$$ ($3$ noktasında sürekli olan) polinom kesirini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.

  ---

• Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $3$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$\dfrac{2x+1}{2x-5} \mapsto \dfrac{2\cdot3+1}{2\cdot3-5}=7.$$

---

---

Çözüm:
$0/0$ tipi belirsizliğimiz var. Payı $(x-3)\cdot (2x+1)$ ve paydayı $(x-3)\cdot (2x-5)$ olarak çarpanlara ayıralım. $x-3$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim. Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to 3} \dfrac{2x^2-5x-3}{2x^2-11x+15}\ &= \ \lim\limits_{x\to 3}\dfrac{(x-3)\cdot (2x+1)}{(x-3)\cdot(2x-5)}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 3}\dfrac{2x+1}{2x-5}\\[12pt]\ &= \ \dfrac{2\cdot3+1}{2\cdot3-5}\\[12pt]\ &= \ 7\end{align*}eşitliğini buluruz.