Soru analizi:
- Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom mutlaklarına sahip ifademiz var. $0/0$ belirsizliğini polinom kesirine taşıyarak sonuca ulaşalım.
Çözüm yöntemi:
Polinom kesirine çevirme:
- Sürekli $3-2x$ fonksiyonu $2$ noktasında negatif olan $-1$ değerini alır. Bu nedenle $2$'nin bir civarında bu fonksiyon sadece negatif değerler alır. Bu civarda $|3-2x|=2x-3$ eşitliği sağlanır ve $$\frac{|3-2x|-1}{x-2}=\frac{(2x-3)-1}{x-2}=\frac{2x-4}{x-2}$$ eşitliğini elde ederiz.
Çarpanlara ayırma: - Pay ve payda $2$ noktasında $0$ değerini aldığından $x-2$ bir çarpanı olur. Sadeleştirme adına bu ifadeyi $$\dfrac{2x-4}{x-2}=\dfrac{2\cdot(x-2)}{x-2}$$ olarak düzenlenebilir.
Sadeleştirme: - $x-2$'leri sadeleştirirsek ($x\ne 2$ olmak üzere) $$\frac{2\cdot(x-2)}{x-2}=2$$ ($2$ noktasında sürekli olan) ifadesini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $2$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$2 \mapsto 2.$$
Çözüm:
$0/0$ belirsizliğimiz var. Mutlak değerlerin işaretlerini inceleyerek limiti polinom bölmesine çevirelim.
Sürekli $3-2x$ fonksiyonu $2$ noktasında negatif olan $-1$ değerini alır. Bu nedenle $2$'nin bir civarında bu fonksiyon sadece negatif değerler alır ve bu civarda $|3-2x|=2x-3$ eşitliği sağlanır.
Payı $2\cdot (x-2)$ olarak yazalım ve $x-2$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim.
Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{|3-2x|-1}{x-2}\ &= \ \lim\limits_{x\to 2} \frac{(2x-3)-1}{x-2}\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 2} \frac{2x-4}{x-2}\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{2\cdot(x-2)}{x-2}\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 2} 2 \\[12pt]&= \ 2\end{align*}eşitliğini buluruz.