Soru analizi:
- Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom mutlaklarına sahip ifademiz var. $0/0$ belirsizliğini polinom kesirine taşıyarak sonuca ulaşalım.
Çözüm yöntemi:
Polinom kesirine çevirme:
- Sürekli $$x-1,\ x,\ x+1, \ -(x-3)$$ fonksiyonları $2$ noktasında pozitif değerler alır.
Bu nedenle $2$'nin bir civarında bu fonksiyonlar sadece pozitif değerler alır. Bu civarda $$|x-1|=x-1,$$$$|x|=x,$$$$|x+1|=x+1,$$$$|x-3|=3-x$$ eşitlikleri sağlanır ve $$\frac{2\cdot |x-1|-|x|}{|x+1|-|x-3|-|x|}=\frac{2\cdot (x-1)-x}{(x+1)-(3-x)-x}=\frac{x-2}{x-2}$$ eşitliğini elde ederiz.
Sadeleştirme: - $x-2$'leri sadeleştirirsek ($x\ne 2$ olmak üzere) $$\frac{x-2}{x-2}=1$$ ($2$ noktasında sürekli olan) ifadesini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $2$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$1 \mapsto 1.$$
Çözüm:
$0/0$ belirsizliğimiz var. Mutlak değerlerin işaretlerini inceleyerek limiti polinom bölmesine çevirelim.
Sürekli $x-1,x,x+1,-(x-3)$ fonksiyonu $2$ noktasında pozitif değerler alır. Bu nedenle $2$'nin bir civarında bu fonksiyonlar sadece pozitif değerler alır ve bu civarda $$|x-1|=x-1, \ \ \ |x|=x, \ \ \ |x+1|=x+1, \ \ \ |x-3|=3-x$$ eşitlikleri sağlanır. Bu eşitlikleri kullanalım ve $x-2$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim.
Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{2\cdot |x-1|-|x|}{|x+1-|x-3|-|x|}\ &= \ \lim\limits_{x\to 2} \frac{2\cdot (x-1)-x}{(x+1)-(3-x)-x}\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 2} \frac{x-2}{x-2}\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 2} 1 \\[12pt]&= \ 1\end{align*}eşitliğini buluruz.