Soru analizi:
- Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom mutlaklarına sahip ifademiz var. $0/0$ belirsizliğini polinom kesirine taşıyarak sonuca ulaşalım.
Çözüm yöntemi:
Polinom kesirine çevirme:
- Sürekli $$3x+1,\ -(3x-1)$$ fonksiyonları $0$ noktasında pozitif değerler alır.
Bu nedenle $0$'ın bir civarında bu fonksiyonlar sadece pozitif değerler alır. Bu civarda $$|3x+1|=3x+1,$$$$|3x-1|=1-3x,$$ eşitlikleri sağlanır ve $$\frac{ |3x+1|-|3x-1|}{x}=\frac{(3x+1)-(1-3x)}{x}=\frac{6x}{x}$$ eşitliğini elde ederiz.
Sadeleştirme: - $x$'leri sadeleştirirsek ($x\ne 0$ olmak üzere) $$\frac{6x}x=6$$ ($0$ noktasında sürekli olan) ifadesini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $0$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$6 \mapsto 6.$$
Çözüm:
$0/0$ belirsizliğimiz var. Mutlak değerlerin işaretlerini inceleyerek limiti polinom bölmesine çevirelim.
Sürekli $3x+1,-(3x-1)$ fonksiyonu $0$ noktasında pozitif değerler alır. Bu nedenle $0$'ın bir civarında bu fonksiyonlar sadece pozitif değerler alır ve bu civarda $$|3x+1|=3x+1, \ \ \ |3x-1|=1-3x$$ eşitlikleri sağlanır. Bu eşitlikleri kullanalım ve $x$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim.
Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{|3x+1|-|3x-1|}{x}\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \frac{(3x+1)-(1-3x)}{x}\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0} \frac{6x}{x}\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0} 6 \\[12pt]&= \ 6\end{align*}eşitliğini buluruz.