Soru analizi:
- Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom mutlaklarına sahip ifademiz var. $0/0$ belirsizliğini polinom kesirine taşıyarak sonuca ulaşalım.
Çözüm yöntemi:
Polinom kesirine çevirme:
- Sürekli $$-(2x-3),\ 2x+1$$ fonksiyonları $0$ noktasında pozitif değerler alır.
Bu nedenle $0$'ın bir civarında bu fonksiyonlar sadece pozitif değerler alır. Bu civarda $$|2x-3|=3-2x,$$$$|2x+1|=2x+1,$$ eşitlikleri sağlanır ve $$\frac{ |2x-3|-3\cdot|2x+1|}{x}=\frac{(3-2x)-3\cdot (2x+1)}{x}=\frac{-8x}{x}$$ eşitliğini elde ederiz.
Sadeleştirme: - $x$'leri sadeleştirirsek ($x\ne 0$ olmak üzere) $$\frac{-8x}x=-8$$ ($0$ noktasında sürekli olan) ifadesini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $0$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$-8 \mapsto 8.$$
Çözüm:
$0/0$ belirsizliğimiz var. Mutlak değerlerin işaretlerini inceleyerek limiti polinom bölmesine çevirelim.
Sürekli $2x-3,2x+1$ fonksiyonu $0$ noktasında pozitif değerler alır. Bu nedenle $0$'ın bir civarında bu fonksiyonlar sadece pozitif değerler alır ve bu civarda $$|2x-3|=3-2x, \ \ \ |2x+1|=2x+1$$ eşitlikleri sağlanır. Bu eşitlikleri kullanalım ve $x$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim.
Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{|2x-1|-3\cdot |2x+1|}{x}\ &= \ \lim\limits_{x\to 0} \frac{(3-2x)-3\cdot (2x+1)}{x}\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0} \frac{-8x}{x}\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 0} -8 \\[12pt]&= \ -8\end{align*}eşitliğini buluruz.