Soru analizi:
- Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom mutlaklarına sahip ifademiz var. $0/0$ belirsizliğini polinom kesirine taşıyarak sonuca ulaşalım.
Çözüm yöntemi:
Polinom kesirine çevirme:
- Sürekli $$3x+1,\ -(x-5),\ 2x+5, \ 8-x$$ fonksiyonları $1$ noktasında pozitif değerler alır.
Bu nedenle $1$'in bir civarında bu fonksiyonlar sadece pozitif değerler alır. Bu civarda $$|3x+1|=3x+1,$$$$|x-5|=5-x,$$$$|2x+5|=2x+5,$$$$|8-x|=8-x$$ eşitlikleri sağlanır ve $$\frac{|3x+1|-|x-5|}{|2x+5|-|8-x|}=\frac{(3x+1)-(5-x)}{(2x+5)-(8-x)}=\frac{4x-4}{3x-3}$$ eşitliğini elde ederiz.
Çarpanlara ayırma: - Pay ve payda $1$ noktasında $0$ değerini aldığından $x-1$ bir çarpanı olur. Sadeleştirme adına bu ifade $$\dfrac{4x-4}{3x-3}=\dfrac{4\cdot(x-1)}{3\cdot(x-1)}$$ olarak düzenlenebilir.
Sadeleştirme: - $x-1$'leri sadeleştirirsek ($x\ne 1$ olmak üzere) $$\frac{4\cdot (x-1)}{3\cdot (x-1)}=\frac43$$ ($1$ noktasında sürekli olan) ifadesini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $1$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$\frac43 \mapsto \frac43.$$
Çözüm:
$0/0$ belirsizliğimiz var. Mutlak değerlerin işaretlerini inceleyerek limiti polinom bölmesine çevirebilim.
Sürekli $$3x+1,\ -(x-5),\ 2x+5, \ 8-x$$ fonksiyonları $1$ noktasında pozitif değerler alır. Bu nedenle $1$'in bir civarında bu fonksiyonlar sadece pozitif değerler alır. Bu civarda $$|3x+1|=3x+1,\ \ \ |x-5|=5-x,\ \ \ |2x+5|=2x+5,\ \ \ |8-x|=8-x$$ eşitlikleri sağlanır Bu eşitlikleri kullanalım ve $x-1$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim.
Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to 1} \dfrac{|3x+1|-|x-5|}{|2x+5|-|8-x|}\ &= \ \lim\limits_{x\to 1} \frac{(3x+1)-(5-x)}{(2x+5)-(8-x)}\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 1} \frac{4x-4}{3x-3}\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 2} \dfrac{4\cdot(x-1)}{3\cdot (x-1)} \\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 2} \dfrac43 \\[12pt]&= \ \dfrac43\end{align*}eşitliğini buluruz.