Soru analizi:
- Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit var.
- Polinom mutlaklarına sahip ifademiz var. $0/0$ belirsizliğini polinom kesirine taşıyarak sonuca ulaşalım.
Çözüm yöntemi:
Polinom kesirine çevirme:
- Sürekli $$3x^2+1,\ -(x^2+x-6),\ 2x+4, \ x+5$$ fonksiyonları $1$ noktasında pozitif değerler alır.
Bu nedenle $1$'in bir civarında bu fonksiyonlar sadece pozitif değerler alır. Bu civarda $$|3x^2+1|=3x^2+1,$$$$|x^2+x-6|=-(x^2+x-6),$$$$|2x+4|=2x+4,$$$$|x+5|=x+5$$ eşitlikleri sağlanır ve $$\frac{|3x^2+1|-|x^2+x-6|}{|2x+4|-|x-5|}=\frac{(3x^2+1)-(-(x^2+x-6))}{(2x+4)-(x+5)}=\frac{4x^2+x-5}{x-1}$$ eşitliğini elde ederiz.
Çarpanlara ayırma: - Pay ve payda $1$ noktasında $0$ değerini aldığından $x-1$ bir çarpanı olur. Sadeleştirme adına bu ifade $$\dfrac{4x^2+x-5}{x-1}=\dfrac{(x-1)\cdot(4x+5)}{x-1}$$ olarak düzenlenebilir.
Sadeleştirme: - $x-1$'leri sadeleştirirsek ($x\ne 1$ olmak üzere) $$\dfrac{(x-1)\cdot(4x+5)}{x-1}=4x+5$$ ($1$ noktasında sürekli olan) ifadesini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
Hesaplama: - Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $1$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$4x+5 \mapsto 4\cdot 1+5 =9.$$
Çözüm:
$0/0$ belirsizliğimiz var. Mutlak değerlerin işaretlerini inceleyerek limiti polinom bölmesine çevirelim.
Sürekli $$3x^2+1,\ -(x^2+x-6),\ 2x+4, \ x+5$$ fonksiyonları $1$ noktasında pozitif değerler alır. Bu nedenle $1$'in bir civarında bu fonksiyonlar sadece pozitif değerler alır. Bu civarda $$|3x^2+1|=3x^2+1, \ \ \ |x^2+x-6|=-(x^2+x-6),$$$$|2x+4|=2x+4, \ \ \ |x+5|=x+5$$ eşitlikleri sağlanır. Bu eşitlikleri kullanalım. Payı $(x-1)\cdot (4x+5)$ olarak çarpanlara ayıralım ve $x-1$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim.
Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to 1} \dfrac{|3x^2+1|-|x^2+x-6|}{|2x+4|-|x+5|}\ &= \ \lim\limits_{x\to 1} \frac{(3x^2+1)-(-(x^2+x-6))}{(2x+4)-(x+5)}\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 1} \frac{4x^2+x-5}{x-1}\\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 1} \dfrac{(x-1)\cdot(4x+5)}{x-1} \\[12pt]&= \ \lim\limits_{x\to 1} (4x+5) \\[12pt]&= \ 4\cdot 1+5 \\[12pt]&= \ 9 \end{align*}eşitliğini buluruz.