Question

$$\lim\limits_{x\to 1} \dfrac{3x^2-2x-1}{5x^2-6x+1}$$ limitini bulunuz.

Answer 1

Soru analizi:

• $1$ noktasında sürekli olan $3x^2-2x-1$ ve $5x^2-6x+1$ polinomlarının oluşturduğu kesirin limiti ile ilgileniyoruz.
   
• $1$ noktasında $3x^2-2x-1$ ve $5x^2-6x+1$ polinomlarının değerini hesaplarsak $$3\cdot 1^2-2\cdot 1-1=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 5\cdot 1^2-6\cdot1+1=0$$ olduğunu görürürüz.
  
  Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit oluşur. 

---

Çözüm yöntemi:

• Bir polinomun değerini $0$ yapan bir $a$ değeri varsa $x-a$ bu polinomun bir çarpanı olur.
  
  Buradaki durumda ise $x-1$ iki polinomun da bir çarpanı olur. Bu bilgi ile polinomları $$3x^2-2x-1=(x-1)\cdot(3x+1) \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 5x^2-6x+1=(x-1)\cdot(5x-1)$$ olarak çarpanlara ayırabiliriz.
  
  Bu şekilde ifadeyi $$\dfrac{3x^2-2x-1}{5x^2-6x+1}=\dfrac{(x-1)\cdot (3x+1)}{(x-1)\cdot(5x-1)}$$ olarak yazabiliriz.

  ---

• Bize $0/0$ belirsizliğini veren payda ve paydada $x-1$ çarpanının bulunması.
  
  $x-1$'leri sadeleştirirsek ($x\ne1$ olmak üzere) $$\dfrac{(x-1)\cdot (3x+1)}{(x-1)\cdot(5x-1)}=\dfrac{3x+1}{5x-1}$$ ($1$ noktasında sürekli olan) polinom kesirini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.

  ---

• Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $1$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$\dfrac{3x+1}{5x-1} \mapsto \dfrac{3\cdot1+1}{5\cdot1-1}=1.$$

---

---

Çözüm:
$0/0$ tipi belirsizliğimiz var. Payı $(x-1)\cdot (3x+1)$ ve paydayı $(x-1)\cdot (5x-1)$ olarak çarpanlara ayıralım. $x-1$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim. Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to 1} \dfrac{3x^2-2x-1}{5x^2-6x+1}\ &= \ \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{(x-1)\cdot (3x+1)}{(x-1)\cdot(5x-1)}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 1}\dfrac{3x+1}{5x-1}\\[12pt]\ &= \ \dfrac{3\cdot1+1}{5\cdot1-1}\\[12pt]\ &= \ 1\end{align*}eşitliğini buluruz.