Question

$$\lim\limits_{x\to 1.5} \dfrac{4x^2-9}{2x-3}$$ limitini bulunuz.

Answer 1

Soru analizi:

• $1.5$ noktasında sürekli olan $4x^2-9$ ve $2x-3$ polinomlarının oluşturduğu kesirin limiti ile ilgileniyoruz.
   
• $1.5$ noktasında $4x^2-9$ ve $2x-3$ polinomlarının değerini hesaplarsak $$4\cdot \left(\frac32\right)^2-9=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 2\cdot \frac32-3=0$$ olduğunu görürürüz.
  
  Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit oluşur. 

---

Çözüm yöntemi:

• Bir polinomun değerini $0$ yapan bir $a$ değeri varsa $x-a$ bu polinomun bir çarpanı olur.
  
  Buradaki durumda ise ($(x-1.5)$'in sabit $2$ ile çarpımı olan) $2x-3$ iki polinomun da bir çarpanı olur. Bu bilgi ile polinomları $$4x^2-9=(2x-3)\cdot (2x+3) \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 2x-3=2x-3$$ olarak çarpanlara ayırabiliriz.
  
  Bu şekilde ifadeyi $$\dfrac{4x^2-9}{2x-3}=\dfrac{(2x-3)\cdot (2x+3)}{2x-3}$$ olarak yazabiliriz.

  ---

• Bize $0/0$ belirsizliğini veren payda ve paydada $2x-3$ çarpanının bulunması.
  
  $2x-3$'leri sadeleştirirsek ($x\ne1.5$ olmak üzere) $$\dfrac{(2x-3)\cdot (2x+3)}{x-3}=2x+3$$ ($1.5$ noktasında sürekli olan) polinomunu elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.

  ---

• Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $1.5$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$2x+3 \mapsto 2\cdot 1.5+3=6.$$

---

---

Çözüm:
$0/0$ tipi belirsizliğimiz var. Payı $(2x-3)\cdot (2x+3)$ olarak çarpanlara ayıralım. $2x-3$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim. Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to 1.5} \dfrac{4x^2-9}{2x-3}\ &= \ \lim\limits_{x\to 1.5}\dfrac{(2x-3)\cdot (2x+3)}{2x-3}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 1.5}(2x+3)\\[12pt]\ &= \ 2\cdot 1.5+3\\[12pt]\ &= \ 6\end{align*}eşitliğini buluruz.