Question

$$\lim\limits_{x\to -\frac13} \dfrac{9x^2-1}{3x^2+x}$$ limitini bulunuz.

Answer 1

Soru analizi:

• $-\frac13$ noktasında sürekli olan $9x^2-1$ ve $3x^2+x$ polinomlarının oluşturduğu kesirin limiti ile ilgileniyoruz.
   
• $-\frac13$ noktasında $9x^2-1$ ve $3x^2+x$ polinomlarının değerini hesaplarsak $$9\cdot \left(-\frac13\right)^2-1=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 3\cdot \left(-\frac13\right)^2+\left(-\frac13\right)=0$$ olduğunu görürürüz.
  
  Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit oluşur. 

---

Çözüm yöntemi:

• Bir polinomun değerini $0$ yapan bir $a$ değeri varsa $x-a$ bu polinomun bir çarpanı olur.
  
  Buradaki durumda ise ($(x-(-1/3))$'ün sabit $3$ ile çarpımı olan) $3x+1$ iki polinomun da bir çarpanı olur. Bu bilgi ile polinomları $$9x^2-1=(3x+1)\cdot (3x-1) \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 3x^2+x=(3x+1)\cdot x$$ olarak çarpanlara ayırabiliriz.
  
  Bu şekilde ifadeyi $$\dfrac{9x^2-1}{3x^2+x}=\dfrac{(3x+1)\cdot (3x-1)}{(3x+1)\cdot x}$$ olarak yazabiliriz.

  ---

• Bize $0/0$ belirsizliğini veren payda ve paydada $3x+1$ çarpanının bulunması.
  
  $3x+1$'leri sadeleştirirsek ($x\ne-\frac13$ olmak üzere) $$\dfrac{(3x+1)\cdot (3x-1)}{(3x+1)\cdot x}=\dfrac{3x-1}{x}$$ ($-\frac13$ noktasında sürekli olan) polinom kesirini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.

  ---

• Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $-\frac13$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$\dfrac{3x-1}{x} \mapsto \dfrac{3\cdot\left(-\frac13\right)-1}{-\frac13}=6.$$

---

---

Çözüm:
$0/0$ tipi belirsizliğimiz var. Payı $(3x+1)\cdot (3x-1)$ ve paydayı $(3x+1)\cdot x$ olarak çarpanlara ayıralım. $3x+1$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim. Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to -\frac13} \dfrac{9x^2-1}{5x^2-6x+1}\ &= \ \lim\limits_{x\to -\frac13}\dfrac{(3x+1)\cdot (3x-1)}{(3x+1)\cdot x}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to -\frac13}\dfrac{3x-1}{x}\\[12pt]\ &= \ \dfrac{3\cdot\left(-\frac13\right)-1}{-\frac13}\\[12pt]\ &= \ 6\end{align*}eşitliğini buluruz.