Question

$$\lim\limits_{x\to \frac12} \dfrac{2x^3-x^2}{4x^2-1}$$ limitini bulunuz.

Answer 1

Soru analizi:

• $\frac12$ noktasında sürekli olan $2x^3-x^2$ ve $4x^2-1$ polinomlarının oluşturduğu kesirin limiti ile ilgileniyoruz.
   
• $\frac12$ noktasında $2x^3-x^2$ ve $4x^2-1$ polinomlarının değerini hesaplarsak $$2\cdot \left(\frac12\right)^3-\left(\frac12\right)^2=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 4\cdot \left(\frac12\right)^2-1=0$$ olduğunu görürürüz.
  
  Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit oluşur. 

---

Çözüm yöntemi:

• Bir polinomun değerini $0$ yapan bir $a$ değeri varsa $x-a$ bu polinomun bir çarpanı olur.
  
  Buradaki durumda ise ($(x-(1/2))$'nin sabit $2$ ile çarpımı olan) $2x-1$ iki polinomun da bir çarpanı olur. Bu bilgi ile polinomları $$2x^3-x^2=(2x-1)\cdot x^2 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 4x^2-1=(2x-1)\cdot (2x+1)$$ olarak çarpanlara ayırabiliriz.
  
  Bu şekilde ifadeyi $$\dfrac{2x^3-x^2}{4x^2-1}=\dfrac{(2x-1)\cdot x^2}{(2x-1)\cdot (2x+1)}$$ olarak yazabiliriz.

  ---

• Bize $0/0$ belirsizliğini veren payda ve paydada $2x-1$ çarpanının bulunması.
  
  $2x-1$'leri sadeleştirirsek ($x\ne\frac12$ olmak üzere) $$\dfrac{(2x-1)\cdot x^2}{(2x-1)\cdot (2x+1)}=\dfrac{x^2}{2x+1}$$ ($\frac12$ noktasında sürekli olan) polinom kesirini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.

  ---

• Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $\frac12$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$\dfrac{x^2}{2x+1} \mapsto \dfrac{\left(\frac12\right)^2}{2\cdot \frac12+1}=\frac18.$$

---

---

Çözüm:
$0/0$ tipi belirsizliğimiz var. Payı $(2x-1)\cdot x^2$ ve paydayı $(2x-1)\cdot (2x+1)$ olarak çarpanlara ayıralım. $2x-1$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim. Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to \frac12} \dfrac{2x^3-x^2}{4x^2-1}\ &= \ \lim\limits_{x\to \frac12}\dfrac{(2x-1)\cdot x^2}{(2x-1)\cdot (2x+1)}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to \frac12}\dfrac{x^2}{2x+1}\\[12pt]\ &= \ \dfrac{\left(\frac12\right)^2}{2\cdot\frac12+1}\\[12pt]\ &= \ \frac18\\[12pt]\ &\color{gray}{= \ 0.125}\end{align*}eşitliğini buluruz.