Soru analizi:
- $\frac34$ noktasında sürekli olan $4x^2+x-3$ ve $8x^2-2x-3$ polinomlarının oluşturduğu kesirin limiti ile ilgileniyoruz.
- $\frac34$ noktasında $4x^2+x-3$ ve $8x^2-2x-3$ polinomlarının değerini hesaplarsak $$4\cdot \left(\frac34\right)^2+\left(\frac34\right)-3=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 8\cdot \left(\frac34\right)^2-2\cdot\left(\frac34\right)-3=0$$ olduğunu görürürüz.
Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit oluşur.
Çözüm yöntemi:
- Bir polinomun değerini $0$ yapan bir $a$ değeri varsa $x-a$ bu polinomun bir çarpanı olur.
Buradaki durumda ise ($(x-(3/4))$'ün sabit $4$ ile çarpımı olan) $4x-3$ iki polinomun da bir çarpanı olur. Bu bilgi ile polinomları $$4x^2+x-3=(4x-3)\cdot (x+1) \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 8x^2-2x-3=(4x-3)\cdot (2x+1)$$ olarak çarpanlara ayırabiliriz.
Bu şekilde ifadeyi $$\dfrac{4x^2+x-3}{8x^2-2x-3}=\dfrac{(4x-3)\cdot (x+1)}{(4x-3)\cdot (2x+1)}$$ olarak yazabiliriz.
- Bize $0/0$ belirsizliğini veren payda ve paydada $4x-3$ çarpanının bulunması.
$4x-3$'leri sadeleştirirsek ($x\ne\frac34$ olmak üzere) $$\dfrac{(4x-3)\cdot (x+1)}{(4x-3)\cdot (2x+1)}=\dfrac{x+1}{2x+1}$$ ($\frac34$ noktasında sürekli olan) polinom kesirini elde ederiz ve belirsizlik durumu gidermiş oluruz.
- Sürekli fonksiyonumuzda $x$ yerine $\frac34$ değerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$\dfrac{x+1}{2x+1} \mapsto \dfrac{\frac34+1}{2\cdot \frac34+1}=\frac7{10}.$$
Çözüm:
$0/0$ tipi belirsizliğimiz var. Payı $(4x-3)\cdot (x+1)$ ve paydayı $(4x-3)\cdot (2x+1)$ olarak çarpanlara ayıralım. $4x-3$ sadeleştirmesi yaparak belirsizliği giderelim. Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0.75} \dfrac{4x^2+x-3}{8x^2-2x-3}\ &= \ \lim\limits_{x\to 0.75}\dfrac{(4x-3)\cdot (x+1)}{(4x-3)\cdot (2x+1)}\\[12pt]\ &= \ \lim_{x\to 0.75}\dfrac{x+1}{2x+1}\\[12pt]\ &= \ \dfrac{0.75+1}{2\cdot0.75+1}\\[12pt]\ &= \ \frac{1.75}{2.5}\\[12pt]\ &= \ \frac7{10}\\[12pt]\ &\color{gray}{= \ 0.7}\end{align*}eşitliğini buluruz.