Question

$$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin 2x}{3x}$$ limitini bulunuz.

Answer 1

Soru analizi:

• $0$ noktasında sürekli olan $\sin 2x$ ve $3x$ fonksiyonlarının oluşturduğu kesirin limiti ile ilgileniyoruz.
   
• $0$ noktasında $\sin 2x$ ve $3x$ fonksiyonlarının değerini hesaplarsak $$\sin(2\cdot 0)=\sin 0=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 3\cdot 0=0$$ olduğunu görürürüz.
  
  Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit oluşur. 

---

Çözüm yöntemi:

• $u$ fonksiyonu $a$'nın bir civarında sıfır fonksiyon olmasın ve $\lim\limits_{x\to a} u(x)=0$ sağlansın. Bu durumda $$\lim\limits_{x\to a} \dfrac{\sin u(x)}{u(x)}=1$$eşitliği sağlanır.
   
• Bu bilgiyi $a=0$ noktasında $u(x)=2x$ kurallı $u: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonu için kullanırsak $$ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin 2x}{2x}=1$$ eşitliği sağlanır.

  ---

• İç ifadeyi bu bilgiyi kullanabileceğimiz şekilde $$\dfrac{\sin2x}{3x}=\dfrac{\sin2x}{2x}\cdot \dfrac23$$ olarak düzenleyelim.

  ---

• $0$ noktasında bu fonksiyonların limitilerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$\dfrac{\sin2x}{2x}\cdot \dfrac23 \mapsto 1 \cdot \dfrac23=\dfrac23.$$

---

---

Çözüm:
$\lim\limits_{x\to 0}2x=0$ sağlandığından ve $0$'ın herhangi bir civarında $2x$ sıfır fonksiyon olmadığından\[ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin 2x}{2x}=1\]eşitliği sağlanır. Bu bilgiyi kullanabilecek şekilde iç ifadeyi düzenlersek\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin 2x}{3x}&=\  \lim\limits_{x\to 0} \left[ \dfrac{\sin 2x}{2x}\cdot \frac23\right]\\[12pt]&=\ 1\cdot \frac23\\[12pt]&=\ \frac23\end{align*}eşitliğini buluruz.