Soru analizi:
- $0$ noktasında sürekli olan $\sin 4x$ ve $\sin 3x$ fonksiyonlarının oluşturduğu kesirin limiti ile ilgileniyoruz.
- $0$ noktasında $\sin 4x$ ve $\sin 3x$ fonksiyonlarının değerini hesaplarsak $$\sin(4\cdot 0)=\sin 0=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \sin (3\cdot 0)=\sin 0=0$$ olduğunu görürürüz.
Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit oluşur.
Çözüm yöntemi:
- $u$ fonksiyonu $a$'nın bir civarında sıfır fonksiyon olmasın ve $\lim\limits_{x\to a} u(x)=0$ sağlansın. Bu durumda $$\lim\limits_{x\to a} \dfrac{\sin u(x)}{u(x)}=1$$eşitliği sağlanır.
- Bu bilgiyi $a=0$ noktasında $u_1(x)=4x$ ve $u_2(x)=3x$ kurallı $u_1,u_2: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonu için kullanırsak $$ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin 4x}{4x}=1 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \dfrac{\sin 3x}{3x}=1$$ eşitliği sağlanır.
- İç ifadeyi bu bilgiyi kullanabileceğimiz şekilde $$\dfrac{\sin4x}{\sin 3x}=\dfrac{\sin4x}{4x}\cdot \dfrac{3x}{\sin 3x}\cdot \dfrac43=\dfrac{\sin4x}{4x}\cdot \left(\dfrac{\sin 3x}{3x}\right)^{-1}\cdot \dfrac43$$ olarak düzenleyelim.
- $0$ noktasında bu fonksiyonların limitilerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$\dfrac{\sin4x}{4x}\cdot \left(\dfrac{\sin 3x}{3x}\right)^{-1}\cdot \dfrac43 \mapsto 1\cdot 1^{-1}\cdot \dfrac43=\dfrac43.$$
Çözüm:
$\lim\limits_{x\to 0}4x=0$ ve $\lim\limits_{x\to 0}3x=0$ sağlandığından, ve $0$'ın herhangi bir civarında $4x$ ve $3x$ sıfır fonksiyon olmadığından\[ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin 4x}{4x}=1 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin 3x}{3x}=1\]eşitliği sağlanır. Bu bilgiyi kullanabilecek şekilde iç ifadeyi düzenlersek\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin 4x}{\sin 3x}&=\ \lim\limits_{x\to 0} \left[ \dfrac{\sin 4x}{4x}\cdot\dfrac{3x}{\sin 3x}\cdot \frac43\right]\\[12pt]&=\ \lim\limits_{x\to 0} \left[ \dfrac{\sin 4x}{4x}\cdot\left(\dfrac{\sin 3x}{3x}\right)^{-1}\cdot \frac43\right]\\[12pt]&=\ 1\cdot 1^{-1}\cdot \frac43\\[12pt]&=\ \frac43\end{align*}eşitliğini buluruz.