Question

$$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\tan 5x}{4x}$$ limitini bulunuz.

Answer 1

Soru analizi:

• $0$ noktasında sürekli olan $\tan 5x$ ve $4x$ fonksiyonlarının oluşturduğu kesirin limiti ile ilgileniyoruz.
   
• $0$ noktasında $\sin 2x$ ve $3x$ fonksiyonlarının değerini hesaplarsak $$\tan(5\cdot 0)=\tan 0=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 4\cdot 0=0$$ olduğunu görürürüz.
  
  Limitlerin bölümü yaklaşımı ile elimizde $0/0$ belirsizliği olan bir limit oluşur. 

---

Çözüm yöntemi:

• $\tan=\sin \cdot \cos^{-1}$ eşitliğini kullanırsak $$\dfrac{\tan 5x}{4x}= \dfrac{\sin 5x }{\cos 5x} \cdot \dfrac1{4x}=\dfrac{\sin 5x}{4x}\cdot \dfrac1{\cos 5x}$$ eşitliği sağlanır.
• Bize $0/0$ belirsizliğini veren $$\dfrac{\sin5x}{4x}$$ ile ilgilenelim.

  ---

• $u$ fonksiyonu $a$'nın bir civarında sıfır fonksiyon olmasın ve $\lim\limits_{x\to a} u(x)=0$ sağlansın. Bu durumda $$\lim\limits_{x\to a} \dfrac{\sin u(x)}{u(x)}=1$$eşitliği sağlanır.
   
• Bu bilgiyi $a=0$ noktasında $u(x)=5x$ kurallı $u: \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonu için kullanırsak $$ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin 5x}{5x}=1$$ eşitliği sağlanır.

  ---

• İç ifadeyi bu bilgiyi kullanabileceğimiz şekilde $$\dfrac{\sin 5x}{4x}\cdot \dfrac1{\cos 5x}=\dfrac{\sin 5x}{5x}\cdot \dfrac54\cdot \dfrac1{\cos 5x}$$ olarak düzenleyelim.

  ---

• $0$ noktasında bu fonksiyonların limitilerini yazarak limit değerini bulabiliriz: $$\dfrac{\sin 5x}{5x}\cdot \dfrac54\cdot \dfrac1{\cos 5x} \mapsto 1\cdot \dfrac54\cdot \dfrac1{\cos(5\cdot 0)}=\dfrac54.$$

---

---

Çözüm:
$\lim\limits_{x\to 0}5x=0$ sağlandığından ve $0$'ın herhangi bir civarında $5x$ sıfır fonksiyon olmadığından\[ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin 5x}{5x}=1\]eşitliği sağlanır. Bu bilgiyi kullanabilecek şekilde iç ifadeyi düzenlersek\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\tan 5x}{5x}&=\  \lim\limits_{x\to 0} \left[ \dfrac{\sin 5x}{\cos 5x}\cdot \frac1{4x}\right]\\[12pt]&=\  \lim\limits_{x\to 0} \left[ \dfrac{\sin 5x}{4x}\cdot \frac1{\cos 5x}\right]\\[12pt]&=\  \lim\limits_{x\to 0} \left[ \dfrac{\sin 5x}{5x}\cdot\dfrac54\cdot \frac1{\cos 5x}\right]\\[12pt]&=\ 1\cdot \frac54\cdot \dfrac1{\cos(5\cdot 0)}\\[12pt]&=\ \frac54\end{align*}eşitliğini buluruz.